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Différentiabilité dans un espace vectoriel
La proposition 10.l s'énonce alors en disant que l'inverse de toute application
dérivable f de U c lR dans IR* est dérivable et que
'V x EU (l)' f'(x)
f (x) =
- f(x) 2 '
Signalons qu'une approche analogue peut être mise en œuvre pour étudier les
applications de classe c i : la somme, la composée, le produit, etc. d'applications
de classe c i sont aussi de classe c i .
10.1.3 Utilisation des différentielles en physique
Pour conclure cette partie, donnons deux exemples d'utilisation des différentielles pour l'étude de problèmes physiques.
Conservation de l'énergie le long d'une trajectoire
Le principe fondamental de la dynamique exprime le fait que dans un repère
galiléen, la somme des forces F qui s'exercent sur un point matériel de masse m
est proportionnelle à son accélération. Si on note x(t) E JR3 la position et
v(t) = x'(t) E JR3 la vitesse de ce point au temps t E JR + alors son accélération
est donnée par c 2 5l v'(t) et le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
mv' (t) = F(x(t)).
L'inconnue dans ce problème est le vecteur position x(t) à chaque instant t.
L'application x : t E JR + � x(t) E JR3 est un arc paramétré dans l'espace < 26 > . La
trajectoire du point, qui est la courbe de l'espace décrite par cet arc paramétr�,
est l'ensemble
Par exemple, si un point de coordonnées ( x 1, x 2, x 3 ) E JR3 est soumis à la seule
gravité alors la force s'exerçant sur lui est
Les équations v(t) = x'(t) et mv' (t) = F(x(t)) forment un système différentie t 1 > d'ordre 1 qui se réécrit, en posant X = (x, v), sous la forme
X'(t) = f(X(t)) où f est l'application f: (x, v) E JR3 x JR3 � (v, F(x)).
< 2 5> Au sujet de la notation v'(t) pour la différentielle d'une application d'un ouvert de 1R à
valeurs dans JR3 , on pourra consulter la proposition 10.4 p. 614.
< 2 5 > L'étude des arcs paramétrés est effectuée dans le chap. 11.
< 2 7 > Voir le Cours de première année p. 979.
Différentiabilité dans un espace vectoriel
La proposition 10.l s'énonce alors en disant que l'inverse de toute application
dérivable f de U c lR dans IR* est dérivable et que
'V x EU (l)' f'(x)
f (x) =
- f(x) 2 '
Signalons qu'une approche analogue peut être mise en œuvre pour étudier les
applications de classe c i : la somme, la composée, le produit, etc. d'applications
de classe c i sont aussi de classe c i .
10.1.3 Utilisation des différentielles en physique
Pour conclure cette partie, donnons deux exemples d'utilisation des différentielles pour l'étude de problèmes physiques.
Conservation de l'énergie le long d'une trajectoire
Le principe fondamental de la dynamique exprime le fait que dans un repère
galiléen, la somme des forces F qui s'exercent sur un point matériel de masse m
est proportionnelle à son accélération. Si on note x(t) E JR3 la position et
v(t) = x'(t) E JR3 la vitesse de ce point au temps t E JR + alors son accélération
est donnée par c 2 5l v'(t) et le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
mv' (t) = F(x(t)).
L'inconnue dans ce problème est le vecteur position x(t) à chaque instant t.
L'application x : t E JR + � x(t) E JR3 est un arc paramétré dans l'espace < 26 > . La
trajectoire du point, qui est la courbe de l'espace décrite par cet arc paramétr�,
est l'ensemble
Par exemple, si un point de coordonnées ( x 1, x 2, x 3 ) E JR3 est soumis à la seule
gravité alors la force s'exerçant sur lui est
Les équations v(t) = x'(t) et mv' (t) = F(x(t)) forment un système différentie t 1 > d'ordre 1 qui se réécrit, en posant X = (x, v), sous la forme
X'(t) = f(X(t)) où f est l'application f: (x, v) E JR3 x JR3 � (v, F(x)).
< 2 5> Au sujet de la notation v'(t) pour la différentielle d'une application d'un ouvert de 1R à
valeurs dans JR3 , on pourra consulter la proposition 10.4 p. 614.
< 2 5 > L'étude des arcs paramétrés est effectuée dans le chap. 11.
< 2 7 > Voir le Cours de première année p. 979.