Calcul différentiel
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Exemples
1. L'ensemble des éléments inversibles de l'algèbre des nombres réels (JR, +, . , x )
est l'ensemble JR* = {x E lR; x =f. O}.
2. Considérons l'algèbre (M n (lR) , +, · , x ) . L'élément unité est la matrice identité I n et l'ensemble des éléments inversibles de l'algèbre M n (lR) est l'ensemble
GL n (lR) des matrices inversibles.
Si une application f définie sur un ouvert U d'un espace vectoriel normé E est
à valeurs dans l'ensemble des éléments inversibles F* d'une algèbre normée F
alors on définit l'application inverse de f, notée y par
1
f: x EU 1--+ f(x) - 1 E F* .
1 On prendra garde à ne pas confondre l'inverse y d'une application f avec
d'une part f(x) - 1 l'inverse de l'élément f(x) pour la multiplication dans le
groupe (F*, x ) et avec d'autre part 1- 1 la bijection réciproque de f (dans
la mesure où elle existe) .
PROPOSITION 10.8 Soient (E, I l · llE) un espace vectoriel normé, (F, Il · ll F)
une algèbre normée, U un ensemble ouvert dans (E, 1 1 • ll E) et f une application
de U dans l'ensemble F* des éléments inversibles de l'algèbre normée F. Si
l'application f est différentiable en x E U alors son inverse y est différentiable
en x et
'v'h E E d (7)
x
(h) = -f (x)- 1 dfx(h) f(x)� 1 .
Démonstration La démonstration de ce résultat qui reprend, en la généralisant, l'approche utilisée p. 620 pour déterminer la différentielle de l'application
ME GL n (lR) 1-+ l\II - 1 est laissée en exercice.
D
COROLLAIRE 10.1 Soient (E, Il · ll E) un espace vectoriel normé, U un ensemble ouvert dans (E, Il · llE) et f une application de U dans JR* . Si l'application f est différentiable en x E U alors son inverse j est différentiable
en x et
'v'h E E d (.!.) (h) = -
df x ( h)
f X
f(x) 2
0
Si E = F = lR alors les notions de dérivabilité et de différentiabilité coïncident < 2 4> : si f est une application d'un ouvert U de lR à valeurs dans lR qui
est différentiable en x E U alors elle est dérivable en x et on a
J'(x) = dfx (l).
(2 4 ) Voir la remarque de la p. 614.