622
Différentiabilité dans un espace vectoriel
Exemples
1. Considérons deux applications f et g définies sur un ouvert Ide� à valeurs
dans �et considérons l'application produit f x g par
f x g : x E I i--- -- -+ f(x) g(x) ER
La proposition 10.7 indique que si f et g sont différentiables sur I, autrement
dit si f et g sont dérivables <20> sur I alors le produit f x g est aussi différentiable
(donc dérivable) sur I. De plus, on a
Vx E I Vh E � d(f x g)x (h) = J'( x)h g(x) + f(x) g'(x)h
= (J'(x) g(x) + f(x) g'(x)) h = (f x g)'(x) h .
On retrouve la formule de la dérivée d'un produit de deux applications réelles
d'une variable réelle c 2 1 > .
2. L'application id : M E Mn (�) f-t M étant une application linéaire, elle est
différentiable sur Mn (�) et
VIVI E Mn (�) d(id)M : H E Mn (�) i--- -- -+ H.
L'espace d'arrivée Mn (�) pouvant être muni d'une structure d'algèbre (voir
p. 544), on peut s'intéresser à l'application f = id x id : M E Mn (�) f-t M 2 .
D'après la proposition 10.7, cette application est différentiable sur Mn (�) et
on a
VM E Mn (�) dfM : HE Mn (�) i--- -- -+ HM + MH .
Rappelons c 22 > qu'un élément a d'un anneau (A, + , x ) est inversible s'il existe
b E A tel que a x b = lA et b x a = lA où l'élément lA est l'unité de l'anneau A
(c'est-à-dire l'élément neutre pour la loi x ) . L'inverse d'un élément inversible
•
(23)
'
- 1
a E A est umque et est note a .
DÉFINITION 10.4 L 'ensemble de tous les éléments inversibles d'une algèbre
(A, +, . , x ) est l'ensemble, noté A*, défini par
A* = {a E A ; 3b E.A a x b = lA et b x a = lA }
où l'élément lA est l'unité de l'anneau (A, +, x ) .
<20> Voir p. 614 le lien entre dérivabilité et différentiabilité dans le cas de fonctions de 1R
dans IR.
<2 1 > Voir la Proposition 16.3 p. 718 du Cours de première année.
< 22 > voir le Cours de première année p. 68.
<23> Supposons que b et c soient deux inverses de l'élément a. On a donc a x b = lA et
a x c = lA · Par différence, on en déduit que a x (b - c) = OA· En multipliant cette
relation à gauche par b, on ab - c = OA et donc b = c.
Différentiabilité dans un espace vectoriel
Exemples
1. Considérons deux applications f et g définies sur un ouvert Ide� à valeurs
dans �et considérons l'application produit f x g par
f x g : x E I i--- -- -+ f(x) g(x) ER
La proposition 10.7 indique que si f et g sont différentiables sur I, autrement
dit si f et g sont dérivables <20> sur I alors le produit f x g est aussi différentiable
(donc dérivable) sur I. De plus, on a
Vx E I Vh E � d(f x g)x (h) = J'( x)h g(x) + f(x) g'(x)h
= (J'(x) g(x) + f(x) g'(x)) h = (f x g)'(x) h .
On retrouve la formule de la dérivée d'un produit de deux applications réelles
d'une variable réelle c 2 1 > .
2. L'application id : M E Mn (�) f-t M étant une application linéaire, elle est
différentiable sur Mn (�) et
VIVI E Mn (�) d(id)M : H E Mn (�) i--- -- -+ H.
L'espace d'arrivée Mn (�) pouvant être muni d'une structure d'algèbre (voir
p. 544), on peut s'intéresser à l'application f = id x id : M E Mn (�) f-t M 2 .
D'après la proposition 10.7, cette application est différentiable sur Mn (�) et
on a
VM E Mn (�) dfM : HE Mn (�) i--- -- -+ HM + MH .
Rappelons c 22 > qu'un élément a d'un anneau (A, + , x ) est inversible s'il existe
b E A tel que a x b = lA et b x a = lA où l'élément lA est l'unité de l'anneau A
(c'est-à-dire l'élément neutre pour la loi x ) . L'inverse d'un élément inversible
•
(23)
'
- 1
a E A est umque et est note a .
DÉFINITION 10.4 L 'ensemble de tous les éléments inversibles d'une algèbre
(A, +, . , x ) est l'ensemble, noté A*, défini par
A* = {a E A ; 3b E.A a x b = lA et b x a = lA }
où l'élément lA est l'unité de l'anneau (A, +, x ) .
<20> Voir p. 614 le lien entre dérivabilité et différentiabilité dans le cas de fonctions de 1R
dans IR.
<2 1 > Voir la Proposition 16.3 p. 718 du Cours de première année.
< 22 > voir le Cours de première année p. 68.
<23> Supposons que b et c soient deux inverses de l'élément a. On a donc a x b = lA et
a x c = lA · Par différence, on en déduit que a x (b - c) = OA· En multipliant cette
relation à gauche par b, on ab - c = OA et donc b = c.