Calcul différentiel
621
Une première remarque est de constater que ces deux opérations, produit et
quotient entre applications, n'ont pas toujours de sens. Par exemple si F = IR 2
alors on ne sait pas faire le produit de deux éléments de IR 2 . Pour pouvoir définir
le produit ou le quotient, il faut supposer que l'ensemble d'arrivée F possède
non seulement une structure d'espace vectoriel normé mais puisse aussi être
muni d'une loi de composition interne « produit ».
Avec la structure d ' algèbre normé, voir la définition 9.3 p. 544, on dispose de
la structure nécessaire pour définir la différentielle d'un produit.
PROPOSITION 10.7 Soient (E, 11 · llE ) un espace vectoriel normé, (F, 11 · llp )
une algèbre normée, U un ensemble ouvert dans (E, Il · llE ) et f et g deux
applications de U dans F. Si les applications f et g sont différentiables en
x E U alors le produit f x g est différentiable en x et la différentielle de f x g
en x est l'application d(f x g)x définie par
\l h E E d(f X g)x (h) = dfx (h) X g(x) + J(x) X dgx(h).
Démonstration Pour montrer que f x g est différentiable en x E U, de différentielle l'application d(f x g)x : h E E f-+ dfx(h) x g(x) + f(x) x dgx (h) ,
nous allons montrer que pour tout h E E, on a
( ! x g)(x + h) = ( ! x g)(x) + d(f x g)x(h) + oo( llhllE ) ·
On peut remarquer que comme les applications df x et dgx sont des applications
linéaires continues, l'application d(f x g )x est une application linéaire continue.
Puisque les applications f et g sont différentiables en x , pour tout h au voisinage
de 0 dans E on a
f(x + h) = f(x) + dfx (h) + Oo( llhllE ) ,
g(x + h) = g(x) + dgx(h) + oo( ll hllE) = g(x) + oo(l ) .
(4)
0 ( 1 9 )
r :
(f xg)(x+h) -(f xg)(x) = (f(x+h) - f(x)) xg(x+h)+ f(x) x (g(x+h)-g(x)) .
En utilisant les relations (4), on en déduit que
( ! x g)(x + h) - ( ! x g)(x) = (dfx(h) + oo( llhllE )) x (g(x) + oo (l ))
Le résultat est démontré.
+ f(x) X (dgx (h) + Oo( llhllE ))
= dfx (h) X g(x) + f(x) X dgx (h) + Oo( ll hll E)
= d(f X g)x(h) + Oo ( llhllE ) ·
D
< 1 9> On sera attentif à la forme de cette expression : la loi « produit » de l'algèbre F n'est pas
nécessairement commutative. C'est le cas par exemple de l'ensemble des matrices carrées
de taille n (n ? 2) pour lequel le produit n'est pas commutatif.
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Une première remarque est de constater que ces deux opérations, produit et
quotient entre applications, n'ont pas toujours de sens. Par exemple si F = IR 2
alors on ne sait pas faire le produit de deux éléments de IR 2 . Pour pouvoir définir
le produit ou le quotient, il faut supposer que l'ensemble d'arrivée F possède
non seulement une structure d'espace vectoriel normé mais puisse aussi être
muni d'une loi de composition interne « produit ».
Avec la structure d ' algèbre normé, voir la définition 9.3 p. 544, on dispose de
la structure nécessaire pour définir la différentielle d'un produit.
PROPOSITION 10.7 Soient (E, 11 · llE ) un espace vectoriel normé, (F, 11 · llp )
une algèbre normée, U un ensemble ouvert dans (E, Il · llE ) et f et g deux
applications de U dans F. Si les applications f et g sont différentiables en
x E U alors le produit f x g est différentiable en x et la différentielle de f x g
en x est l'application d(f x g)x définie par
\l h E E d(f X g)x (h) = dfx (h) X g(x) + J(x) X dgx(h).
Démonstration Pour montrer que f x g est différentiable en x E U, de différentielle l'application d(f x g)x : h E E f-+ dfx(h) x g(x) + f(x) x dgx (h) ,
nous allons montrer que pour tout h E E, on a
( ! x g)(x + h) = ( ! x g)(x) + d(f x g)x(h) + oo( llhllE ) ·
On peut remarquer que comme les applications df x et dgx sont des applications
linéaires continues, l'application d(f x g )x est une application linéaire continue.
Puisque les applications f et g sont différentiables en x , pour tout h au voisinage
de 0 dans E on a
f(x + h) = f(x) + dfx (h) + Oo( llhllE ) ,
g(x + h) = g(x) + dgx(h) + oo( ll hllE) = g(x) + oo(l ) .
(4)
0 ( 1 9 )
r :
(f xg)(x+h) -(f xg)(x) = (f(x+h) - f(x)) xg(x+h)+ f(x) x (g(x+h)-g(x)) .
En utilisant les relations (4), on en déduit que
( ! x g)(x + h) - ( ! x g)(x) = (dfx(h) + oo( llhllE )) x (g(x) + oo (l ))
Le résultat est démontré.
+ f(x) X (dgx (h) + Oo( llhllE ))
= dfx (h) X g(x) + f(x) X dgx (h) + Oo( ll hll E)
= d(f X g)x(h) + Oo ( llhllE ) ·
D
< 1 9> On sera attentif à la forme de cette expression : la loi « produit » de l'algèbre F n'est pas
nécessairement commutative. C'est le cas par exemple de l'ensemble des matrices carrées
de taille n (n ? 2) pour lequel le produit n'est pas commutatif.