620
Différentiabilité dans un espace vectoriel
Comme df et dg sont des applications linéaires et continues, la fonction e admet
zéro pour limite lorsque x tend vers a. On en conclut que go f est différentiable
en a, de différentielle en a l'application d(gof)a : h E E f--+ dgf (a) (dfa(h)). 0
Exemple Considérons l'application \li : M E GLn (IR) � Tr (M - 1 ) qui est
la composée de l'application trace avec l'application « inversion de matrice ».
Schématiquement on a :
GLn (IR) -t GLn (R) -t lR
M f--+ i\r 1 f--+ Tr (M - 1 ) .
L'application trace étant linéaire, d'après la proposition 10.5, sa différentielle
en tout point est égale à elle-même, i.e.
VM E GLn (R) dTrrv1 : H E Mn (R) f--+ Tr(H).
La différentielle de l'application : M E GLn (IR) � :rv1 - 1 a été étudiée p. 613 ;
on a
'v'lVI E GLn (R) dt.,,1 : HE Mn (R) f--+ -M - 1 HrvI - 1 .
La proposition 10.6 indique que d'1lrv1 = dTrM pour tout M E GLn (IR).
Autrement dit, on a
Exercice 10.2 Soient U l'ensemble des matrices de Mn (R) de trace non
nulle et Ç: M � l/Tr(M) .
1 - Justifier que U est un sous-ensemble ouvert de Mn (R).
2 - En utilisant la proposition 10.6, montrer que la différentielle de Ç est
dÇ : MEU� dÇM E .Cc(Mn (IR),IR) où d(M : H E Mn (R) � -Tr (H)/Tr(M) 2 .
Au sujet du produit et du quotient d'applications différentiables
Parmi les exemples de calcul d'applications différentielles remarquons que l'on
a su calculer < 16 > la différentielle d'une forme quadratique, c'est-à-dire ' 11 > 1a différentielle d'un produit de formes linéaires et que l'on a aussi déterminé p. 620 la
différentielle de l'application M E GLn (IR.) � M - 1 , c'est-à-dire la différentielle
de l'inverse < 1 8> de l'application id : IVI E GLn (IR) �M.
Plus généralement, on peut se poser la question suivante : si deux applications f
et g définies sur un ouvert U de E à valeurs dans F sont différentiables, est-ce
que le produit f x g et le quotient f / g sont différentiables ?
(lG) Voir l'exercice 10.1 p. 616.
< 1 7 > Rappelons, voir le théorème de Gauss p. 469, que toute forme quadratique se décompose
en une somme de carrés de formes linéaires.
(lS) A ne pas confondre avec la réciproque.
Différentiabilité dans un espace vectoriel
Comme df et dg sont des applications linéaires et continues, la fonction e admet
zéro pour limite lorsque x tend vers a. On en conclut que go f est différentiable
en a, de différentielle en a l'application d(gof)a : h E E f--+ dgf (a) (dfa(h)). 0
Exemple Considérons l'application \li : M E GLn (IR) � Tr (M - 1 ) qui est
la composée de l'application trace avec l'application « inversion de matrice ».
Schématiquement on a :
GLn (IR) -t GLn (R) -t lR
M f--+ i\r 1 f--+ Tr (M - 1 ) .
L'application trace étant linéaire, d'après la proposition 10.5, sa différentielle
en tout point est égale à elle-même, i.e.
VM E GLn (R) dTrrv1 : H E Mn (R) f--+ Tr(H).
La différentielle de l'application : M E GLn (IR) � :rv1 - 1 a été étudiée p. 613 ;
on a
'v'lVI E GLn (R) dt.,,1 : HE Mn (R) f--+ -M - 1 HrvI - 1 .
La proposition 10.6 indique que d'1lrv1 = dTr
Autrement dit, on a
Exercice 10.2 Soient U l'ensemble des matrices de Mn (R) de trace non
nulle et Ç: M � l/Tr(M) .
1 - Justifier que U est un sous-ensemble ouvert de Mn (R).
2 - En utilisant la proposition 10.6, montrer que la différentielle de Ç est
dÇ : MEU� dÇM E .Cc(Mn (IR),IR) où d(M : H E Mn (R) � -Tr (H)/Tr(M) 2 .
Au sujet du produit et du quotient d'applications différentiables
Parmi les exemples de calcul d'applications différentielles remarquons que l'on
a su calculer < 16 > la différentielle d'une forme quadratique, c'est-à-dire ' 11 > 1a différentielle d'un produit de formes linéaires et que l'on a aussi déterminé p. 620 la
différentielle de l'application M E GLn (IR.) � M - 1 , c'est-à-dire la différentielle
de l'inverse < 1 8> de l'application id : IVI E GLn (IR) �M.
Plus généralement, on peut se poser la question suivante : si deux applications f
et g définies sur un ouvert U de E à valeurs dans F sont différentiables, est-ce
que le produit f x g et le quotient f / g sont différentiables ?
(lG) Voir l'exercice 10.1 p. 616.
< 1 7 > Rappelons, voir le théorème de Gauss p. 469, que toute forme quadratique se décompose
en une somme de carrés de formes linéaires.
(lS) A ne pas confondre avec la réciproque.