Calcul différentiel
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E x emple L'application f : (x1, x2) E IR 2 � xf + 2(x1 + x2) + x� étant la
somme de l'application linéaire L : (x1, x2) E IR 2 � 2(x1 + x2) et de la forme
quadratique q: (xi ,x2) E IR 2 � xi + x� , on a df = dL + dq. Or, pour tout
(a1, a2) E IR 2 et tout (h1, h2) E IR 2 on a
- d'une part dL(a, ,a2) (h1, h2) = L(hi , h2), voir la proposition 10.5 ;
- et d'autre part dq(a1,a2) (h1, h2) = 2B ((a1, a2), (h1, h2)) où B est la forme
polaire associée à la forme quadratique q, voir l'exercice 10.1 p. 616.
'
•
( 15)
On en dedmt que
df(ai ,a2) : (h1, h2) E IR 2 � 2h1 + 2h2 + 2a1h1 + 2a2 h2 .
Composée d'applications différentiables
On a également le résultat suivant concernant la différentiabilité de la composée
de deux applications.
PROPOSITION 10.6 Soient E, F et G trois espaces vectoriels normés, U
un ouvert de E et V un ouvert de F. Soit f une application de U dans V,
différentiable en a E U et g une application de V dans G, différentiable en
b = f(a) . L'application composée g o f de U dans G est différentiable en a et
on a
d(g O /)a = dgb O df a •
Démonstration L'application g étant différentiable en f(a) , pour y dans un
voisinage de b = /( a) , on a
g(y) = g( b ) + d9 b (Y - b ) + l/y-bl/ F é1 (Y) avec lim E1( Y ) = Oc.
y-->b
En prenant. pour y des valeurs de la forme y = f(x) avec x dans un voisinage
de a, on obtient
g(f(x)) = g(f(a)) + dg b (f(x) - f(a)) + ll f(x) - f(a) l/ F € 1 (/(x)) (2)
avec lim E1 (f (x)) = Oa . L'application f étant différentiable en a, on a aussi
X-+a
f(x) - J(a) = df a(x - a) + llx - al/E é2(x) avec
En combinant les relations (2) et (3), on obtient
lim é2(x) = O F .
X-->a
g(f(x)) = g(f(a)) + dgf(a)(dfa (x - a)) + //x - al/E é(x)
où on a posé
( ) = d
( ( )) + l/d fa(x - a)+ llx - allE é2(x) l/F (f( ))
€ X
9f(a) €2 X
llx - all E
€ 1 X .
(3)
(15) Signalons que le calcul de la différentielle de f en ayant recours à la définition a été
effectué p. 611.