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Différentiabilité dans un espace vectoriel
DÉFINITION 10.3 Soient (E, I/ · llE) et (F, 11 · llF ) deux espaces vectoriels
normés et U un ensemble ouvert dans (E, Il · ll E) · Une application f de U
dans F est dite de classe C 1 sur U si elle est différentiable sur U et si df est
continue sur U.
Exemple Nous avons vu p. 611 que l'application
f : (x1 , x 2 ) E IR 2 � xf + 2(x1 + x2) + x�
est différentiable sur IR 2 et que sa différentielle en a = (a1 , a2) E IR 2 est
dfa : (h1, h2) E IR 2 � 2a1h1 + 2h1 + 2h2 + 2a2h2 .
Considérons pour x = (x1 , x 2 ) E JR 2 et pour h = (h1, h2) E IR 2 la quantité
/J. = l dfx(h1 , h2) - dfa(h1, h2) I
llhl/ oo
.
On a
/J. = l 2(x1 - a1 )h1 + 2(x2 - a2)h2 I
2 1
1 l hi l
2 1
1 l h2 I
llh lloo
� Xi - ai llhlloo
+ x 2 - a2 llhlloo
� 2 l x1 - ai l + 2 l x2 - a2 1 =2 llx - a ll 1 ·
Lorsque x tend vers a, la quantité l xi -ai l +lx2-a2 I tend vers zéro. On en déduit
que pour tout a E IR 2 , la différentielle df est continue en a. L'application df
est donc continue sur JR 2 .
Une application différentiable sur un ouvert U n'est pas nécessairement une
application de classe c i sur l'ouvert U. Nous verrons ultérieurement que
l'application f définie sur IR 2 par
Si X 2 = Û
est différentiable sur IR 2 mais n'est pas de classe c i sur IR 2 .
10.1.2 Opérations sur les applications différentiables
Somme d'applications différentiables
Tout comme la dérivée dans le cas des fonctions de lR dans IR, la notion de
différentielle se comporte bien vis-à-vis de l'addition et de la multiplication par
un scalaire : si f et g sont deux applications de U dans E, différentiables sur U,
et si >. et µ sont deux réels alors >.f + µg est aussi différentiable sur U. De plus,
la différentielle est donnée par
d(>.f + µg) = .Xdf + µdg.