Calcul différentiel
617
Puisque ll OE I/ = 0, que Il - xll = llxl/ et que dNo E est une application linéaire,
on obtient en sommant les deux égalités ci-dessus :
2 llxll = llxll + Il - x ll = dNo E (x) - dNo E (x) + llxll €1 (x) = llxll €1 (x)
où é 1 : xi-+ é (x) + .c; (-x) . On en déduit que pour tout x =f. OE on a é 1 (x) = 2.
Cela est incompatible avec la propriété :
lim é1 (x) = lim é (x) + lim .c; (-x) = O.
x__,Q E
x__,Q E
x__,Q E
Remarque En un point a =f. O E , on ne pas conclure sur la différentiabilité
de l'application norme. En effet, selon le choix de la norme N sur E et selon
le choix du point a E E, l'application N peut être différentiable en a ou non
différentiable en a. Par exemple, si la norme est subordonnée à un produit
scalaire, c'est-à-dire s'il existe un produit scalaire (- , - ) sur E tel que pour tout
x E E on ait N(x) = J (x, x) alors en vertu des propriétés de bilinéarité du
produit scalaire et de la dérivabilité de l'application x E IR+ i-+ .jX, on montre
que N est différentiable en tout a E E \ {O}. Par contre, si on considère la
norme sur IR. 2 définie par N(x 1 , x 2 ) = l x 1 I + l x2 I alors on peut montrer (comme
on l'a fait ci-dessus) que l'application N n'est pas différentiable en a= (1, 0). <>
Applications de classe C1
Soient (E, 11 · llE ) et (F, 1 1 · llF ) deux espaces vectoriels normés et U un ensemble
ouvert dans (E, 11 · llE ) . Si une application f de U dans F est différentiable en
tout point a de U alors on dit que l'application f est différentiable sur U. On
appelle différentielle de f l'application
df : a E U 1--- -+ dfa E .Cc (E, F) .
Une norme sur l'espace des applications linéaires de E dans F est définie par < 1 4 >
'
Ill L l/lcc(E,F) = �� � l/ hl/E
·
Ainsi, l'application df sera continue sur U si pour tout a EU, on a
��� lll df x - dfa lllcc(E,F) = 0,
0, llld f _ df Ill
_
ll df x (h) - dfa(h) llF
U
x
a Cc(E,F) - �� �
l/ hl/E
·
Les considérations sur la continuité de l'application différentielle nous amènent
à introduire la définition suivante.
<•4> Voir la proposition 9.23 p. 577.
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Puisque ll OE I/ = 0, que Il - xll = llxl/ et que dNo E est une application linéaire,
on obtient en sommant les deux égalités ci-dessus :
2 llxll = llxll + Il - x ll = dNo E (x) - dNo E (x) + llxll €1 (x) = llxll €1 (x)
où é 1 : xi-+ é (x) + .c; (-x) . On en déduit que pour tout x =f. OE on a é 1 (x) = 2.
Cela est incompatible avec la propriété :
lim é1 (x) = lim é (x) + lim .c; (-x) = O.
x__,Q E
x__,Q E
x__,Q E
Remarque En un point a =f. O E , on ne pas conclure sur la différentiabilité
de l'application norme. En effet, selon le choix de la norme N sur E et selon
le choix du point a E E, l'application N peut être différentiable en a ou non
différentiable en a. Par exemple, si la norme est subordonnée à un produit
scalaire, c'est-à-dire s'il existe un produit scalaire (- , - ) sur E tel que pour tout
x E E on ait N(x) = J (x, x) alors en vertu des propriétés de bilinéarité du
produit scalaire et de la dérivabilité de l'application x E IR+ i-+ .jX, on montre
que N est différentiable en tout a E E \ {O}. Par contre, si on considère la
norme sur IR. 2 définie par N(x 1 , x 2 ) = l x 1 I + l x2 I alors on peut montrer (comme
on l'a fait ci-dessus) que l'application N n'est pas différentiable en a= (1, 0). <>
Applications de classe C1
Soient (E, 11 · llE ) et (F, 1 1 · llF ) deux espaces vectoriels normés et U un ensemble
ouvert dans (E, 11 · llE ) . Si une application f de U dans F est différentiable en
tout point a de U alors on dit que l'application f est différentiable sur U. On
appelle différentielle de f l'application
df : a E U 1--- -+ dfa E .Cc (E, F) .
Une norme sur l'espace des applications linéaires de E dans F est définie par < 1 4 >
'
Ill L l/lcc(E,F) = �� � l/ hl/E
·
Ainsi, l'application df sera continue sur U si pour tout a EU, on a
��� lll df x - dfa lllcc(E,F) = 0,
0, llld f _ df Ill
_
ll df x (h) - dfa(h) llF
U
x
a Cc(E,F) - �� �
l/ hl/E
·
Les considérations sur la continuité de l'application différentielle nous amènent
à introduire la définition suivante.
<•4> Voir la proposition 9.23 p. 577.