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Différentiabilité dans un espace vectoriel
Munissons l'espace vectoriel IR[X] de la norme 1 1 · lloo définie pour P = I;�= l akXk
par llP ll 00 = maxkE {l , ... ,n} lak l· Considérons, pour n E N*, le polynôme
Pn = x n . On a llPn lloo = 1 et ll f(Pn) lloo = ll nx n - 1 1100 = n. Cela montre
qu'il n'existe pas de constante C E lR telle que pour tout polynôme P E IR[X]
on ait ll f(P) lloo � C llPlloo · Ainsi, rapplication linéaire f n'est pas continue
lorsque IR[X] est muni de la norme Il · 1100 , voir la définition 9.5 p. 546. On en
déduit que df p n'est pas continue sur IR[X] muni de la norme Il · 1100 et donc
que f n'est pas différentiable en P E IR[X]. On peut également conclure en utilisant la proposition 10.2 : f n'étant pas continue sur IR[X] muni de la norme
Il · lloo , elle ne peut pas être différentiable.
On peut aussi munir l'espace vectoriel IR[X] de la norme Il · llo définie par
P E IR[X] 1-) IP(O)I + llP ' lloo ·
Notons que l'application linéaire f de (IR[X] , Il · llo ) dans (IR[X], Il · /l oo) est
continue puisque pour tout polynôme P E IR[X] on a
< 1 1 >
ll f(P) //oo = llP ' lloo � /P(O)I + llP ' lloo = llPllo ·
Le même raisonnement que celui effectué lors de la preuve de la proposition 10.5
permet d'affirmer que, bien que l'espace vectoriel IR[X] ne soit pas de dimension finie, l'application f de (IR[X], Il · ll o) dans (JR[X], Il · 1/00) est différentiable
sur IR[X] et pour tout P E IR[X] on a df p = f.
Exercice 10.1 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie égale
à net B = (e1 , ... , en) une base de E.
1 - Déterminer la différentielle d'une forme bilinéaire
<12>
sur E x E.
2 - Déterminer la différentielle d'une forme quadratique
<13>
sur E.
Différentiabilité de la norme
On_ a montré p. 572 que dans un espace vectoriel normé (E, l i· l i), l'application
N : x E E � l/x// était continue sur (E, Il · //). On va vérifier que cette application
n'est pas différentiable en ÜE.
Raisonnons par l'absurde. Si N est différentiable en ÜE alors d'après la définition 10.1, il existe une application linéaire continue dNo E de E dans IR, et une
application é de E dans lR de limite nulle en OE telles que pour tout x dans un
voisinage de 0 E on ait
llxll = l/ OEI/ + dN oE (x) + llxl/ i:; (x) .
En écrivant cette égalité pour -x, on obtient
Il - x ll = l/ OEI/ + d NoE ( -x) +Il - x i/ i:; ( -x) .
(ll) On a recours ici à la quatrième condition du théorème 9.3 p. 574.
< 12> voir la définition 8.1 p. 438.
< 13> Voir la définition 8.6 p. 448.
Différentiabilité dans un espace vectoriel
Munissons l'espace vectoriel IR[X] de la norme 1 1 · lloo définie pour P = I;�= l akXk
par llP ll 00 = maxkE {l , ... ,n} lak l· Considérons, pour n E N*, le polynôme
Pn = x n . On a llPn lloo = 1 et ll f(Pn) lloo = ll nx n - 1 1100 = n. Cela montre
qu'il n'existe pas de constante C E lR telle que pour tout polynôme P E IR[X]
on ait ll f(P) lloo � C llPlloo · Ainsi, rapplication linéaire f n'est pas continue
lorsque IR[X] est muni de la norme Il · 1100 , voir la définition 9.5 p. 546. On en
déduit que df p n'est pas continue sur IR[X] muni de la norme Il · 1100 et donc
que f n'est pas différentiable en P E IR[X]. On peut également conclure en utilisant la proposition 10.2 : f n'étant pas continue sur IR[X] muni de la norme
Il · lloo , elle ne peut pas être différentiable.
On peut aussi munir l'espace vectoriel IR[X] de la norme Il · llo définie par
P E IR[X] 1-) IP(O)I + llP ' lloo ·
Notons que l'application linéaire f de (IR[X] , Il · llo ) dans (IR[X], Il · /l oo) est
continue puisque pour tout polynôme P E IR[X] on a
< 1 1 >
ll f(P) //oo = llP ' lloo � /P(O)I + llP ' lloo = llPllo ·
Le même raisonnement que celui effectué lors de la preuve de la proposition 10.5
permet d'affirmer que, bien que l'espace vectoriel IR[X] ne soit pas de dimension finie, l'application f de (IR[X], Il · ll o) dans (JR[X], Il · 1/00) est différentiable
sur IR[X] et pour tout P E IR[X] on a df p = f.
Exercice 10.1 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie égale
à net B = (e1 , ... , en) une base de E.
1 - Déterminer la différentielle d'une forme bilinéaire
<12>
sur E x E.
2 - Déterminer la différentielle d'une forme quadratique
<13>
sur E.
Différentiabilité de la norme
On_ a montré p. 572 que dans un espace vectoriel normé (E, l i· l i), l'application
N : x E E � l/x// était continue sur (E, Il · //). On va vérifier que cette application
n'est pas différentiable en ÜE.
Raisonnons par l'absurde. Si N est différentiable en ÜE alors d'après la définition 10.1, il existe une application linéaire continue dNo E de E dans IR, et une
application é de E dans lR de limite nulle en OE telles que pour tout x dans un
voisinage de 0 E on ait
llxll = l/ OEI/ + dN oE (x) + llxl/ i:; (x) .
En écrivant cette égalité pour -x, on obtient
Il - x ll = l/ OEI/ + d NoE ( -x) +Il - x i/ i:; ( -x) .
(ll) On a recours ici à la quatrième condition du théorème 9.3 p. 574.
< 12> voir la définition 8.1 p. 438.
< 13> Voir la définition 8.6 p. 448.