Calcul différentiel
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Par la suite, lorsque l'on étudiera une application définie sur I C R et à valeurs dans RP , on utilisera assez fréquemment la notation f' pour désigner la
différentielle df de f, i.e. on notera
J'(a) = (f{(a), f� (a), . .. , J; (a)) ERP.
Différentiabilité des applications linéaires
D'après le théorème 9.4 p. 582, toute application linéaire d'un espace vectoriel
normé de dimension finie E à valeurs dans un espace vectoriel normé F est
continue. On montre ici un résultat concernant la différentiabilité d'une telle
application.
PROPOSITION 10.5 Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E
de dimension finie à valeurs dans un espace vectoriel F. L'application f est
différentiable sur E et on a
Va E E dfa = f.
Démonstration Puisque l'application f est linéaire, pour tous a E E et h E E
on a f(a + h) = f(a) + f (h) . D'après la définition 10.1, cela implique que f est
différentiable en a et que sa différentielle c i o ) est dfa : h E E 1-t f(h) E F. D
Exemples.
1. Pour n E N*, considérons l'application f : P E R n [X] 1-t P' E R n - dXJ qui
à un polynôme associe son polynôme dérivé. Cette application est linéaire et
l'espace vectoriel R n [X] est de dimension finie. On en déduit que l'application f
est différentiable sur R n [X] et que, pour tout P E R n [X] on a dfp = f.
2. Considérons l'application linéaire f: P E R[X] 1-t P' E R[X]. Contrairement
à l'exemple précédent, l'espace vectoriel sur lequel est définie l'application f
n'est pas de dimension finie. On va montrer que la différentiabilité de f dépend du choix de la norme Il · I l sur l'espace R[X]. Il résulte de la preuve de
la proposition 10.5, que si f est différentiable sur R[X], sa différentielle en
P E R[X] est nécessairement df p = f. L'application f sera différentiable sur
R[XJ si pour tout P E R[X] , l'application linéaire df p est continue sur R[X]
pour la norme Il · I l ·
c i oi Le fait que E soit de dimension finie nous permet d'affirmer que l'application df a est
bien continue.
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Par la suite, lorsque l'on étudiera une application définie sur I C R et à valeurs dans RP , on utilisera assez fréquemment la notation f' pour désigner la
différentielle df de f, i.e. on notera
J'(a) = (f{(a), f� (a), . .. , J; (a)) ERP.
Différentiabilité des applications linéaires
D'après le théorème 9.4 p. 582, toute application linéaire d'un espace vectoriel
normé de dimension finie E à valeurs dans un espace vectoriel normé F est
continue. On montre ici un résultat concernant la différentiabilité d'une telle
application.
PROPOSITION 10.5 Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E
de dimension finie à valeurs dans un espace vectoriel F. L'application f est
différentiable sur E et on a
Va E E dfa = f.
Démonstration Puisque l'application f est linéaire, pour tous a E E et h E E
on a f(a + h) = f(a) + f (h) . D'après la définition 10.1, cela implique que f est
différentiable en a et que sa différentielle c i o ) est dfa : h E E 1-t f(h) E F. D
Exemples.
1. Pour n E N*, considérons l'application f : P E R n [X] 1-t P' E R n - dXJ qui
à un polynôme associe son polynôme dérivé. Cette application est linéaire et
l'espace vectoriel R n [X] est de dimension finie. On en déduit que l'application f
est différentiable sur R n [X] et que, pour tout P E R n [X] on a dfp = f.
2. Considérons l'application linéaire f: P E R[X] 1-t P' E R[X]. Contrairement
à l'exemple précédent, l'espace vectoriel sur lequel est définie l'application f
n'est pas de dimension finie. On va montrer que la différentiabilité de f dépend du choix de la norme Il · I l sur l'espace R[X]. Il résulte de la preuve de
la proposition 10.5, que si f est différentiable sur R[X], sa différentielle en
P E R[X] est nécessairement df p = f. L'application f sera différentiable sur
R[XJ si pour tout P E R[X] , l'application linéaire df p est continue sur R[X]
pour la norme Il · I l ·
c i oi Le fait que E soit de dimension finie nous permet d'affirmer que l'application df a est
bien continue.