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Différentiabilité dans un espace vectoriel
Liens entre la notion de différentiabilité et de dérivabilité pour les fonctions
d'une variable réelle
PROPOSITION 10.3 Soit f une application définie sur un intervalle ouvert I
de lR à valeurs dans IR. L 'application f est différentiable sur I si et seulement
si f est dérivable sur I. Dans ce cas, la différentielle de f en a E I est
dfa : h E lR 1--- -- -+ hf'(a) ER
Démonstration !'.'.'. Supposons que l'application f est différentiable en a E /.
Il existe une application linéaire dfa de lR dans lR telle que pour h au voisinage
de 0 avec a + h E J, on ait
f(a + h) = f(a) + dfa (h) + lhl e(h) avec lim e(h) = O .
h-+O
L'application dfa étant linéaire, pour h E lR on a dfa (h) = hdfa(l) et le taux
d'accroissement de f en a vaut :
f(a + h � - f(a)
=
df �
2
(h) + l � I e(h) = dfa(l) + l �
I e(h) .
On en déduit que le taux d'accroissement de f en a admet dfa (l) pour limite
lorsque h tend vers 0 et par conséquent que l'application f est dérivable en a
et de dérivée f'(a) = dfa (l).
!'.'.'. Réciproquement, supposons que f est dérivable en a. On a alors
et par conséquent :
! '( )
1.
f (a + h) - f (a)
a = 1111
1
,
h-+O
i
lim
f(a + h) - f(a) - hf'(a)
= O .
h-+O
h
Cela signifie que f(a + h) - f(a) - hf'(a) = oo(h), autrement dit que l'on a
f(a + h) = f(a) + L(h) + oo(h) où L : h E lR >-+ hf'(a) E lR est une application linéaire. On en déduit que f est différentiable en a de différentielle en a
l'application
dfa : h E lR 1---+ hf'(a) ER
0
En appliquant la proposition 10.3 à chacune des fonctions coordonnées f i ,
f2 , .. . , fp d'une fonction f de lR dans JRP , on obtient le résultat suivant.
PROPOSITION 10.4 Soit f une application définie sur un intervalle ouvert I
de lR à valeurs dans JRP . L 'application f est différentiable sur I si et seulement
si les p fo nctions coordonnées J i , f2 , ... , fp de f sont dérivables sur I.
Dans ce cas, la différentielle de f en a E I est
dfa : h E lR 1---+ (hf{ (a), hf� (a), ... , hf�(a) ) E JRP .