Calcul différentiel
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On déduit de la proposition 10.2 que si une application f d'un ouvert U de E
à valeurs dans F est différentiable sur U alors elle est continue sur U.
Exemple Considérons l'application < 7 > : M E GLn (IR.) 1---7 M- 1 E GLn (IR.)
qui à une matrice inversible de Mn (IR.) associe son inverse. Pour une matrice
HE Mn (IR.) telle que M + HE GLn (IR.), commençons par remarquer que
JVI(( M + H) - 1 - M- 1 ) (M + H) = M - (M + H) = -H
d'où
(M + H) - 1 - M- 1
= - l\!C 1 H(M + H) - 1 .
On a donc (M + H) - 1 = M- 1 - JvI- 1 H(l\tI + H) - 1 de sorte que
cI>(M + H) - cI>(M) = (l:VI + H) - 1 - M- 1
= - :M - 1 HM - 1 + :rv1 - 1 mv1- 1 H(M + H) - 1 .
Vérifions que cette relation est formée d'un «terme linéaire en H » et d'un
t .
t ' H P
c 8 >
« terme pe 1t par rappor a ». osons :
L: HE Mn (IR.) 1--t - l'. 1I- 1 HivI- 1 et
{ -
1
-M- 1 H IVC 1 H(M + H) - 1
c : HE Mn (IR.) 1--t ll H ll
0
si H =/ 0,
si H = O.
D'une part, l'application L est linéaire puisque \:/(>.. ,µ) E IR. 2 \:/ (A, B) E Mn (IR.)2,
L(ÀA + µB ) = - M- 1 (ÀA + µB )M - 1
= ....: xtv1- 1 AM - 1 - µM- 1 BM- 1
= ÀL(A) + µL (B)
et elle est continue car d'après le théorème 9.4 p. 582, en dimension finie toutes
les applications liné�ires sont continues. D'autre part, on a <8>
Par le théorème d'encadrement <9> , on en déduit que c(H) tend vers 0 lorsque
H tend vers O. Ceci prouve que est différentiable sur GLn (IR.) et que sa
différentielle del> est
del> : ME GLn (IR.) 1--t dM,
où dM : HE Mn (IR.) 1--t - M- 1 H:NI- 1 .
(?) L'ensemble GLn(R) des matrices inversibles est un ouvert de l'espace vectoriel Mn(IR),
voir p. 561.
(8) La norme li · li considérée sur l'espace vectoriel Mn(IR) peut être n'importe quelle norme
subordonnée à une norme vectorielle sur !R n , c'est-à-dire n'importe quelle norme sur
Mn(!R) telle que pour toutes matrices A et B de Mn(IR) on a llABll � llAll llBll. Les
normes usuelles sur l'ensemble Mn(IR), voir la proposition 7.5 p. 365, vérifient une telle
propriété.
< 9> voir le Cours de première année p. 577.