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Différentiabilité dans un espace vectoriel
Soit u E U fixé ; en considérant des éléments x de la forme x = a + tu avec
t E lR tels que x E V a , la relation précédente s'écrit :
L(tu) = ll tu llE t:(tu +a).
D'une part, l'application L étant linéaire, on a L(tu) = tL(u) et d'autre part < s>
ll tu llE = l t l l u llE · Pour tout réel t non nul, on a donc
L(u) = l�l ll u llE t:(tu +a).
Or, lim a + tu
t-+O
a et lim t:(x)
O F donc lim t:(a + tu)
t-+0
O F . On a par
X-+8
conséquent
lim J!l ll u llEt:( tu +a) = O F et
t-+O+ t
lim J!l llul! Et:(tu +a) = O F ·
t-+O- t
On en déduit que L(u) = O F pour tout u E U. L'application L est donc
l'application linéaire nulle sur U, et donc < 6 > sur E. On en conclut que L i = L2,
autrement dit que l'application linéaire L de la définition 10.1 est unique. D
PROPOSITION 10.2 Soient f une application dé.finie sur un ouvert U de E
à valeurs dans F et a un élément de U. Si f est différentiable en a alors elle
est continue en a.
Démonstration Si f est différentiable en a alors, d'après la définition 10.1,
il existe une application linéaire continue L de E dans F telle que pour x au
voisinage de a, on ait :
f (x) = f (a) + L(x - a)+ llx - allE t:(x) et lim t:(x) =O F .
X-+8
L'application linéaire L étant continue sur E, on a lim L(x - a) = L(OE) = OF
x-+a
et par conséquent lim f(x) = f(a) . Cela exprime la continuité de f en a. D
X->8
DÉFINITION 10.2
)< Une application f dé.finie sur un ouvert U de E à valeurs dans F est dite
différentiable sur U si elle est différentiable en tout point de U.
) différentiable sur U. On appelle différentielle de f et on note df l'application
<5> Vo ir la définition 7.3.
df : U -t Cc(E, F)
a � df a
( GJ Une application linéaire L d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F qui est
nulle sur un ouvert U non vide de E est nécessairement nulle sur E, voir l'exercice 9.4
p. 573.