Calcul différentiel
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2. On peut aussi reformuler la définition 10.1 de la manière suivante : une
application f est différentiable en a E U s'il existe une application linéaire
continue LE .Cc(E, F) telle que pour tout h au voisinage de OE, on ait :
f(a + h) = f(a) + L(h) + ao ( llhl/ E) ·
0
Exemple Montrons que l'application f : (x1, x2) E IR 2 1---t xf + 2(x1 + x2) + x�
est différentiable en un point a = (a1, a2) quelconque de IR 2 en exploitant la
remarque précédente. Dans un premier temps, formons la différence entre les
termes f(a1 + h1, a2+h2) et f(a1,a2) :
f(a1 + h1, a2 + h2) - f(a1, a2) = 2a1h1 + hÎ + 2h1 + 2h2 + 2a2h2 + h�.
Dans cette expression, on identifie les termes qui sont « linéaires » en la variable
h = (h1, h2) et on pose
L: (h1, h2) E IR 2 1---t 2a1h1 + 2h1 + 2h2 + 2a2h2.
On en déduit que
où c: (h1, h2) E IR 2 1---t Jhf + h� tend vers 0 lorsque (h1, h2) tend vers (0, 0).
PROPOSITION 10.I Soient (E, 11 · 1/ E ) et (F, 1 1 · llF) deux espaces vectoriels
normés, U un ensemble ouvert dans (E, I l · l/E) et f une application de U
dans F. Si f est différentiable en a E U alors l'application linéaire L de
la définition 10. 1 est unique. Elle est appelée différentielle de f en a et est
notée dfa ·
Démonstration Supposons que l'on dispose de deux applications L1 et L2
satisfaisant la définition 10.1. Dans un voisinage Va de a, on a < 4>
f(x) = f(a) + L i (x - a)+ llx - allE c1(x),
f(x) = f(a) + L2(x - a)+ llx - allE c2(x),
où c1 et c2 sont deux applications de E dans F de limite nulle en a. L'application
linéaire L = L1 - L2 vérifie pour tout x E Va :
L(x - a) = llx - a ll E c(x) où c(x) = €1 (x) - c2(x) .
( 4 ) L'intersection de deux voisinage de a étant un voisinage de a, on peut considérer ces deux
relations sur un même voisinage de a.
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2. On peut aussi reformuler la définition 10.1 de la manière suivante : une
application f est différentiable en a E U s'il existe une application linéaire
continue LE .Cc(E, F) telle que pour tout h au voisinage de OE, on ait :
f(a + h) = f(a) + L(h) + ao ( llhl/ E) ·
0
Exemple Montrons que l'application f : (x1, x2) E IR 2 1---t xf + 2(x1 + x2) + x�
est différentiable en un point a = (a1, a2) quelconque de IR 2 en exploitant la
remarque précédente. Dans un premier temps, formons la différence entre les
termes f(a1 + h1, a2+h2) et f(a1,a2) :
f(a1 + h1, a2 + h2) - f(a1, a2) = 2a1h1 + hÎ + 2h1 + 2h2 + 2a2h2 + h�.
Dans cette expression, on identifie les termes qui sont « linéaires » en la variable
h = (h1, h2) et on pose
L: (h1, h2) E IR 2 1---t 2a1h1 + 2h1 + 2h2 + 2a2h2.
On en déduit que
où c: (h1, h2) E IR 2 1---t Jhf + h� tend vers 0 lorsque (h1, h2) tend vers (0, 0).
PROPOSITION 10.I Soient (E, 11 · 1/ E ) et (F, 1 1 · llF) deux espaces vectoriels
normés, U un ensemble ouvert dans (E, I l · l/E) et f une application de U
dans F. Si f est différentiable en a E U alors l'application linéaire L de
la définition 10. 1 est unique. Elle est appelée différentielle de f en a et est
notée dfa ·
Démonstration Supposons que l'on dispose de deux applications L1 et L2
satisfaisant la définition 10.1. Dans un voisinage Va de a, on a < 4>
f(x) = f(a) + L i (x - a)+ llx - allE c1(x),
f(x) = f(a) + L2(x - a)+ llx - allE c2(x),
où c1 et c2 sont deux applications de E dans F de limite nulle en a. L'application
linéaire L = L1 - L2 vérifie pour tout x E Va :
L(x - a) = llx - a ll E c(x) où c(x) = €1 (x) - c2(x) .
( 4 ) L'intersection de deux voisinage de a étant un voisinage de a, on peut considérer ces deux
relations sur un même voisinage de a.