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Différentiabilité dans un espace vectoriel
Remarques
1. Rappelons que la fonction Ede E dans F admet pour limite Op en a E E si
2. Lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie, toutes les applications
linéaires de E dans F sont continues < • > .
3. Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes
<2>
de sorte que lorsque E ou F sont de dimension finie, on peut utiliser
n'importe quelle norme sur ces espaces afin de montrer qu'une application est
différentiable.
o
Exemples
1. Soit f une application de IR 2 dans lR constante, c'est-à-dire telle que
L'application f est différentiable en a pour tout a = (ai, a2 ) E IR 2 • En effet,
pour tout (x1, x2) E IR 2 on peut écrire :
où L est l'application linéaire nulle de IR 2 dans IR, Il · Il désigne une norme
quelconque de IR 2 et E : (x 1 , x2 ) E IR 2 t--t 0 E lR tend vers 0 quand (x 1 , x2 ) tend
vers (0, 0) .
2. L'application f: (x 1 , x2 ) E IR 2 t--t xy + 2 (x1 + x2) + x� E lR est différentiable
en (0, 0) . En effet, puisque f(O, 0) = 0, on a pour tout (xi, x2 ) E IR 2
En posant L : (x 1 , x2 ) E IR 2 t--t 2(x 1 + x2 ) et E: (x 1 , x2 ) E IR 2 t--t Jxi + x�, on
obtient
f (x 1 , x2 ) = f (0, 0) + L(x 1 , x2 ) + 1i (x 1 , x2) ll2 c(x 1 , x2),
où L est une application linéaire de IR 2 dans lR et où pour tout (x 1 , x2 ) E JR 2 ,
c(x 1 ,x2) = ll (x 1 ,x2) ll 2 tend vers 0 quand (x 1 , x2) tend vers (0, 0) . ·
Remarques
1. En utilisant les notations de Landau <3> , la relation (1) s'écrit aussi
J(x) = f(a) + L(x - a)+ Oa ( lix - ail e ) .
(l) Vo ir le théorème 9.4 p. 582.
<2> voir le théorème 7.2 p. 367.
<3> voir le Cours de première année, chap. 15.