CHAPITRE 10
Calcul différentiel
Nous avons dans le chapitre 9 introduit la notion de continuité pour une application d'un espace vectoriel normé (E, Il · llE ) dans un espace vectoriel normé
(F, 11 · llF) et avons insisté sur le cas particulier, très important dans la pratique,
des fonctions de � n dans �P. Dans le prolongement du chapitre 9, nous allons
introduire dans ce chapitre, pour une application d'un espace vectoriel normé
(E, 11 · ll E) dans un espace vectoriel normé (F, 11 · llF) la notion de différentielle,
notion qui généralise celle de dérivée dans le cas des fonctions de � dans R
Nous insisterons une fois encore sur le cas des fonctions de � n dans �P , introduisant les opérateurs différentiels usuels de la physique que sont le gradient,
la divergence et le rotationnel ainsi que les résultats essentiels pour les applications que sont le théorème d'inversion locale et la formule de Taylor. Dans
ce chapitre, les espaces vectoriels considérés auront tous pour corps de base R
10.1 Différentiabilité dans un espace vectoriel
10.1.1 Applications différentiables
DÉFINITION 10.1 Soient (E, Il · llE) et (F, I l · llF) deux espaces vectoriels
normés et U un ensemble ouvert dans ( E, I l · Il E). On dit qu 'une application f
de U dans F est différentiable en a E U s'il existe une application linéaire
continue L E .Cc(E, F) et une fo nction c de E dans F telles que, sur un
voisinage de a dans U, on ait
f (x) = f (a)+ L (x - a) + llx - a li E c( x)
(1)
avec lim c( x) = Op.
X-ta