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Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.14
1 - Notons C� ( [O, 1], JR) l'ensemble des applications positives et continues sur
[O, l]. Un exemple d'application linéaire de C� ([O, 1],IR) dans lR qui vérifie la
propriété (P) est :
f: h E C�([O, 1], JR) f--+ fo
1 h(x) dx
puisque l'intégrale d'une fonction Riemann-intégrable et positive est un réel
positil 7 8 > et que par ailleurs l'image de la fonction constante égale à 1 par f
est bien égale à 1. Un autre exemple est l'application
f: h E C�([O, 1], JR) f--+ sup h(x).
xE[ 0 , 1]
En effet, une fonction continue sur un intervalle fermé et borné étant bornée
et atteignant ses bornes c79> , il existe c E [O, 1] tel que f(h) = sup xE[O, l ] h(x) =
h(c) ? O. De plus, l'image de la fonction constante égale à 1 par f vaut bien 1.
2 - a) Montrons que si f est une forme linéaire sur C 0 ([o, 1], JR) vérifiant la
propriété (P) alors f est une application croissante en établissant l'assertion
suivante :
'v'(h1 ,h 2 )EC 0 ( [0, lj ,JR) 2 (h1 � h 2 ===? f(h 1 ) � f(h 2 )) .
Soient h 1 , h 2 E C 0 ([O, 1], JR) telles que h 1 � h 2 ; l'application h = h 2 - h 1 est une
application continue et positive sur [O, 1]. D'après la propriété (P) , on en déduit
que f (h) ? O. Or, puisque f est une application linéaire, f(h) = f (h 2 ) - f (h1 ),
autrement dit f(h 1 ) � f(h 2 ). L'application f est bien croissante.
b) Montrer que pour tout h E C 0 ((0, 1], JR) on a lf(h)I � f(lhl ) revient
à montrer que -f(lhl) � f(h) � f(lhl). Soit h E C 0 ([o, 1], JR) ; on a h � lhl
car si x E [O, 1] est tel que h(x) ? 0 alors h(x) = jh(x)I et si x E [ü, 1] est
tel que h(x) ? 0 alors h(x) < 0 et jh(x)I > O. Comme f est une application
croissante, voir la question précédente, on en déduit que f(h) � f (lhl). De la
même manière, on ah? -lhl , donc comme f est croissante on a f(h) ? f(- l hl)
et f étant linéaire f(-/hl ) = -f(lhl). Le résultat est établi.
Comme ll hlloo = SllP x e (O, l] jh(x) j, on a pour tout x E [O, 1], jh(x)I � llhlloo 1.
Puisque f est croissante, on en déduit que f (lhl ) � f(llhll= 1 ) . Or f étant
linéaire, on a f (ilhlloo 1) = llhi1 00 f (1). Le résultat est établi.
Remarquons que la conjonction des deux résultats qui viennent d'être établis
indique que pour tout h E c 0 ([o, 1], JR) on a lf(h)I � c llhlloo où c = f(1).
3 - L'application f est une forme linéaire sur C 0 ([0, 1], JR) qui, d'après la question
précédente, vérifie
\fh E C 0 ([0, 1], IR) lf(h) I � C llhlloo
(?S) Voir la proposition 18.4 p. 844 du Cours de première année.
<79> voir le théorème 13.4 p. 596 du Cours de première année.
Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.14
1 - Notons C� ( [O, 1], JR) l'ensemble des applications positives et continues sur
[O, l]. Un exemple d'application linéaire de C� ([O, 1],IR) dans lR qui vérifie la
propriété (P) est :
f: h E C�([O, 1], JR) f--+ fo
1 h(x) dx
puisque l'intégrale d'une fonction Riemann-intégrable et positive est un réel
positil 7 8 > et que par ailleurs l'image de la fonction constante égale à 1 par f
est bien égale à 1. Un autre exemple est l'application
f: h E C�([O, 1], JR) f--+ sup h(x).
xE[ 0 , 1]
En effet, une fonction continue sur un intervalle fermé et borné étant bornée
et atteignant ses bornes c79> , il existe c E [O, 1] tel que f(h) = sup xE[O, l ] h(x) =
h(c) ? O. De plus, l'image de la fonction constante égale à 1 par f vaut bien 1.
2 - a) Montrons que si f est une forme linéaire sur C 0 ([o, 1], JR) vérifiant la
propriété (P) alors f est une application croissante en établissant l'assertion
suivante :
'v'(h1 ,h 2 )EC 0 ( [0, lj ,JR) 2 (h1 � h 2 ===? f(h 1 ) � f(h 2 )) .
Soient h 1 , h 2 E C 0 ([O, 1], JR) telles que h 1 � h 2 ; l'application h = h 2 - h 1 est une
application continue et positive sur [O, 1]. D'après la propriété (P) , on en déduit
que f (h) ? O. Or, puisque f est une application linéaire, f(h) = f (h 2 ) - f (h1 ),
autrement dit f(h 1 ) � f(h 2 ). L'application f est bien croissante.
b) Montrer que pour tout h E C 0 ((0, 1], JR) on a lf(h)I � f(lhl ) revient
à montrer que -f(lhl) � f(h) � f(lhl). Soit h E C 0 ([o, 1], JR) ; on a h � lhl
car si x E [O, 1] est tel que h(x) ? 0 alors h(x) = jh(x)I et si x E [ü, 1] est
tel que h(x) ? 0 alors h(x) < 0 et jh(x)I > O. Comme f est une application
croissante, voir la question précédente, on en déduit que f(h) � f (lhl). De la
même manière, on ah? -lhl , donc comme f est croissante on a f(h) ? f(- l hl)
et f étant linéaire f(-/hl ) = -f(lhl). Le résultat est établi.
Comme ll hlloo = SllP x e (O, l] jh(x) j, on a pour tout x E [O, 1], jh(x)I � llhlloo 1.
Puisque f est croissante, on en déduit que f (lhl ) � f(llhll= 1 ) . Or f étant
linéaire, on a f (ilhlloo 1) = llhi1 00 f (1). Le résultat est établi.
Remarquons que la conjonction des deux résultats qui viennent d'être établis
indique que pour tout h E c 0 ([o, 1], JR) on a lf(h)I � c llhlloo où c = f(1).
3 - L'application f est une forme linéaire sur C 0 ([0, 1], JR) qui, d'après la question
précédente, vérifie
\fh E C 0 ([0, 1], IR) lf(h) I � C llhlloo
(?S) Voir la proposition 18.4 p. 844 du Cours de première année.
<79> voir le théorème 13.4 p. 596 du Cours de première année.