Limite et continuité
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Réciproquement, l'application y : t E (0, T] � Ji+ y(T) + J; b(s) ds prend
la valeur Ji+ y(T) et a pour dérivée b; elle est donc de classe c i sur (0, Tj
(puisque b est continue) et est solution du problème (P) .
2 - Comme C0([0, T] , JR.) muni de la norme uniforme est complet (voir p. 403)
pour montrer que A est complet, il suffit de montrer qu'il est fermé dans
C0( (0, T] , JR.) pour la norme uniforme (voir la proposition 7.i9 p. 4i2).
Considérons une suite U n ) n d'éléments de A qui converge dans c0( [0, T] , JR.)
pour la norme uniforme. D'après le théorème 7.6, montrer que A est fermé
revient à montrer que la limite f de la suite U n ) n appartient à A, autrement
dit que f est continue et positive sur (0, T] . Puisque la suite U n ) n converge
vers f pour la norme uniforme,' la suite U n ) n converge uniformément vers f
sur (0, Tj . La continuité des termes de la suite sur [O, T] implique la continuité de
f sur [O, T] (voir le théorème 2.3 p. 86) . Pour tout t E [O, Tj , la suite numérique
réelle de terme général f n (t) est une suite à termes positifs qui converge. Sa
limite qui est le réel f(t) est positive. La fonction f est donc bien à valeurs
positives. On en conclut que A est fermé.
3 - Considérons l'application
qi: f E A � q>(J) où q> (J) : t E (0, T] � Ji + f(T) + 1
t
b(s) ds.
Comme b est une fonction continue et positive, son intégrale indéfinie
t E [O, T] � J; b( s) ds est une fonction positive de classe c i . On a donc
q>(A) c A. Pour appliquer le théorème du point fixe, il reste à établir que qi est
une application contractante sur A. Soient f i et h deux fonctions appartenant
à A; on a
jj q> (J i ) - q> (f2 ) ll oo =
=
sup j q> (J i )(t) - q> ( h )(t)I
tE[O,T]
sup !Ji + f i (T) - Ji + h (T) I
tE[O,T]
! Ji + f i (T) - Ji + h (T) I
l f i (T) - h (T) I
Ji+ f i (T) + Ji+ h (T)
Comme f i et h sont à valeurs positives, on a Ji+ f i (T) + Ji+ h (T) � 2
et par conséquent
llqi(fi ) - q> (h ) ll oo � -
2
i l f i (T) - h (T)I � � sup i f i (t) - h (t)I
tE[O,T]
� llfi - hll oo ·
Ainsi qi est contractante de rapport i/2 et le théorème du point fixe assure
qu'il existe une unique fonction y E A telle que q> (y) =y. On en conclut qu'il
existe une unique fonction continue et positive sur [O, T] qui soit solution du
problème (P) .
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Réciproquement, l'application y : t E (0, T] � Ji+ y(T) + J; b(s) ds prend
la valeur Ji+ y(T) et a pour dérivée b; elle est donc de classe c i sur (0, Tj
(puisque b est continue) et est solution du problème (P) .
2 - Comme C0([0, T] , JR.) muni de la norme uniforme est complet (voir p. 403)
pour montrer que A est complet, il suffit de montrer qu'il est fermé dans
C0( (0, T] , JR.) pour la norme uniforme (voir la proposition 7.i9 p. 4i2).
Considérons une suite U n ) n d'éléments de A qui converge dans c0( [0, T] , JR.)
pour la norme uniforme. D'après le théorème 7.6, montrer que A est fermé
revient à montrer que la limite f de la suite U n ) n appartient à A, autrement
dit que f est continue et positive sur (0, T] . Puisque la suite U n ) n converge
vers f pour la norme uniforme,' la suite U n ) n converge uniformément vers f
sur (0, Tj . La continuité des termes de la suite sur [O, T] implique la continuité de
f sur [O, T] (voir le théorème 2.3 p. 86) . Pour tout t E [O, Tj , la suite numérique
réelle de terme général f n (t) est une suite à termes positifs qui converge. Sa
limite qui est le réel f(t) est positive. La fonction f est donc bien à valeurs
positives. On en conclut que A est fermé.
3 - Considérons l'application
qi: f E A � q>(J) où q> (J) : t E (0, T] � Ji + f(T) + 1
t
b(s) ds.
Comme b est une fonction continue et positive, son intégrale indéfinie
t E [O, T] � J; b( s) ds est une fonction positive de classe c i . On a donc
q>(A) c A. Pour appliquer le théorème du point fixe, il reste à établir que qi est
une application contractante sur A. Soient f i et h deux fonctions appartenant
à A; on a
jj q> (J i ) - q> (f2 ) ll oo =
=
sup j q> (J i )(t) - q> ( h )(t)I
tE[O,T]
sup !Ji + f i (T) - Ji + h (T) I
tE[O,T]
! Ji + f i (T) - Ji + h (T) I
l f i (T) - h (T) I
Ji+ f i (T) + Ji+ h (T)
Comme f i et h sont à valeurs positives, on a Ji+ f i (T) + Ji+ h (T) � 2
et par conséquent
llqi(fi ) - q> (h ) ll oo � -
2
i l f i (T) - h (T)I � � sup i f i (t) - h (t)I
tE[O,T]
� llfi - hll oo ·
Ainsi qi est contractante de rapport i/2 et le théorème du point fixe assure
qu'il existe une unique fonction y E A telle que q> (y) =y. On en conclut qu'il
existe une unique fonction continue et positive sur [O, T] qui soit solution du
problème (P) .