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Solutions des exercices
On a démontré le résultat suivant.
1 Soient (E, Il · llE) et (F, I l · llF) deux OC-espaces vectoriels normés et f une
application linéaire de E dans F. Si pour toute suite (xn)n d'éléments de E
convergeant pour Il · llE vers OE, la suite de terme général f (xn) est bornée
dans (F, I l · llF) alors f est une application linéaire continue.
2 - a) Considérons la suite (hn)n d'éléments de c0([0, l], IR.) définie par
Vn E N
hn :xE[O, lJ f---+ { � �
(l
)
Si Ü �X� 1 - .! n
n2x+vn - n
si l - l n
'°"'
La suite (hn)n converge pour la norme Il · 111 vers la fonction nulle puisque c7s>
1
1
J
l
1
llhnll i =
lhn (x)I dx =
lhn (x)I dx = r,;;
o
1_.!.
2yn
n
et par conséquent, limn -++oo llhnll1 = O.
Considérons la suite de terme général f (hn); pour tout n E N, on a
f(hn) = hn (l) = fo. Cette suite n'étant pas bornée c7 a i dans IR., on déduit de
la question précédente que f n'est pas une application continue de c0([0, 1], IR. )
dans lR. pour la norme Il · 111 -
b) Considérons une suite (hn)n d'éléments de c0([o, 1], JR.) convergeant vers
la fonction nulle pour la norme 11 · 11 00 , i.e. telle que limn -++oo llhnlloo =O. Pour
tout n E N, on a
0 � l f(hn) I = l hn (l)I � sup lhn (x)I = llhnlloo ·
xE[O, l j
D'après le théorème d'encadrement, la suite de terme général f(hn) converge
vers 0 dans lR. et par conséquent est bornée <77 > . On déduit de la question 1 que f
est une application continue de C0( [0, 1], JR.) dans lR. pour la norme I l · 111 -
SOLUTION DE L'EXERCICE 9. 13
1 - Pour toute fonction y de classe C 1 sur [O, T] , on a
Vt E [O, T]
y(t) = y(O) + 1t y' (s) ds.
On en déduit que si y est solution du problème (P) alors
Vt E [O, TJ
y(t) = Jl + y(T) + 1t b(s) ds.
<75l Remarquer que l'intégrale à calculer correspond à l'aire d'un triangle de base 1/n et de
hauteur fo.
<7a) Dans l'espace vectoriel lR qui est de dimension finie, toutes les normes étant équivalentes,
il est inutile de préciser la norme choisie.
<77> Vo ir la proposition 7.14 p. 394.