Limite et continuité
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On en déduit que est contractante de rapport 1/2 et par conséquent que
admet un unique point fixe g dans (E, I l · 1100). L'application g est l'unique
application continue sur [ü , l] telle que (g) = g, autrement dit telle que pour
tout x E [ O , l] on ait (g)(x) = g(x) . L'équation de Volterra admet donc une
unique solution dans E.
1 L'espace C0([o, l ],JR) muni de la norme I l · 111 n'étant pas complet (voir
p. 404) , il est indispensable de choisir la norme l i · 1100 pour pouvoir appliquer
le théorème du point fixe à if;.
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.12
1 - a) Soit (Yn)n une suite d'éléments de E convergeant vers Oe ; pour tout
n E N, on a Yn = .JifYJG Un où la suite (un)n est la suite d'éléments de E
définie par
'Vn EN Un = { Yn/ vf J
IYn ll e si llYn ll # 0
si llYn ll = 0
Pour tout n E N on a ll un ll e = J llYn ll E (cette égalité a lieu dans les deux
cas correspondant à la définition de la suite (un)n , car si llYn ll e = 0 alors
llun ll E = 0 = J llYn ll e). Comme la suite ( Yn)n converge vers Oe, on déduit de
la relation //u11 /l e = J llYn ll E que la suite (un)n converge aussi vers O. D'après
les hypothèses, cela implique que la suite (f(u11))n est bornée < 7 4 > , i.e. :
L'application f étant linéaire, on a
1
1
1
0 � ll f(Yn) llF = ll f( llY n ll1 Un ) llF = llYn l/ 1 1/f(un) llF � K llYn ll1·
1
Comme la suite ( Yn)n converge vers Oe, on a limn-> + oo l/Yn ll k = 0 et le théorème d'encadrement permet de conclure que limn-> + oo ll f(Yn) /I F =O.
b) On a ainsi établi que pour toute suite (xn )n d'éléments de E convergeant
vers Oe, la suite de terme général f(xn) converge vers ÜF . Or comme f est une
application linéaire, on a OF = f(Oe). D'après la proposition 9.8 p. 549, on en
conclut que f est continue en Oe ce qui d'après le théorème 9.3 implique que f
est une application continue sur E.
< 7 4 > Voir la définition 7.17 p. 392.