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Solutions des exercices
En considérant la limite quand n tend vers +oo dans l'assertion (25) on obtient :
V'E E JR+ 3 N EN V'm EN V' x E E (m ? N ==? li f(x) -f m (x) ll :::; E llxll) .
Puisque Ill / - f m lll = ��� 11/(x)
l
l x fi m (x) ll , on en déduit que
x;"Oi;;
V'E EIR+ 3N EN V'm EN (m ? N ==? lll f - f mlll :::; é) ,
ce qui signifie que la suite Un)n converge vers f dans (.Cc(E), 111 · 111) .
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.10
L'application r étant une application de E dans E contractante, d'après le
théorème 9.6 elle admet un unique point fixe ( dans E. Puisque r(C) =(,en
composant avec l'application f, on en déduit que r + l (() =/((). Or r +i (() =
r(f(()), ce qui implique que r (f(()) = /((), autrement dit que /(() est un
point fixe de r. Comme ( est l'unique point fixe de r, on a /(() = (. Cette
égalité indique que ( est un point fixe de f.
Supposons à présent que f possède un second point fixe ( 1 • La relation
/((') = ( ' implique que / 2 ((') = /((') = ( ' , puis par récurrence que pour
tout p E N* , fP ((') = ( ' . L'élément (1 est alors également point fixe de r.
Comme f n admet un unique point fixe, on a nécessairement (' = (. On en
conclut que f admet un unique point fixe.
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.11
L'espace vectoriel E = c 0 ([0 , 1], JR) muni de la norme Il · 1100 est complet. Montrons que if; est une application contractante de (E, Il · lloo ) dans (E, Il · 11 00 ).
Pour g 1 , g2 EC0 ( [0 , 1], IR) , on a
llefJ (g 1 ) - if; (g2) lloo = sup lefJ (g 1 )(x) - if; (g2)(x) I
Or,
xE[0,1)
= sup 1 f
1
k(x, y) g 1 (y) dy - f
1
k(x, y) 92(Y) dy l
xE[0,1] J o
J o
sup 1 f 1 k(x, y) (g 1 (y) - g2 (y)) dy l .
xE[0,1] J o
l fo
1 k(x, y) (g 1 (y) - g2 (x)) dyl :::; fo
1
1 k(x, y)I lg1 ( Y ) - g2 (y)) I dy
:::;
f
1
( sup l k(x' , y') I X sup lg1 (y1) - g2 (y'))I ) dy
J o (x',y')E[0,1]2
y'E[0,1]
sup l k(x', y') I x sup lg1 (y1) - g2 (y'))I
(x' ,y')E[0,1]2
y' E[0,1]
1
= 2 1191 - 92 lloo·