Limite et continuité
601
2 - a) Montrons que l'application f: x E E � fx E E est un endomorphisme.
Soient y et z deux éléments de E et >., µ deux scalaires. Pour tout n E N,
l'application fn étant un endomorphisme de Eon a
fn (Ày + µz) = Àfn (Y) + µfn (z)
Comme pour tout x E E, la suite Un (x))n converge dans (E, I l · Il ) vers
fx = f( x ), la suite de terme général fn (Ày + µz) converge vers f(>.y + µz).
On déduit par ailleurs des propriétés de la limite que la suite de terme général
>.f n (Y) + µf n (z) converge vers >.f(y) + µf(z). Par unicité de la limite d'une
suite on obtient
f (>.y + µz) = >. j (y) + µf (z)
ce qui permet de conclure que f est une application linéaire de E dans E.
b) Montrons maintenant que f est un endomorphisme continu. Pour tout
x E Eon obtient d'après (22) considérée avec c 1 = llxll ,
3N EN \i(m, n) E N 2 (n ? m ? N ===> ll fn (x) - f m (x) ll � llxll) . (23)
Puisque la suite de terme général fn (x) converge vers f (x), pour tout m E N,
la suite de terme général f n (x) - f m (x) converge vers f (x) - f m (x). La norme
I l Il
E ,
l ' .
.
(73)
E
·
sur etant une app 1catlon contmue sur , on a
lim l l fn (x) - f m (x) ll = l l f(x) - f m (x) ll .
n-+ + oo
On déduit de (23) (en considérant N = E(N) + 1) que
3N EN* \im EN (m ? N ===> ll f(x) - f m (x) ll � llxll)
(24)
puis en utilisant successivement l'inégalité triangulaire, la relation (24) et le
fait que f N est une application linéaire continue, que
.
ll f(x) ll � ll f(x) - f N (x) ll + ll f N (x) ll � llxll + ll f N (x) ll
� llxll + lll f N Ill llxll = (1 + lll f N lll) llx ll .
La quatrième assertion du théorème 9.3 permet de conclure à la continuité de f
sur E.
3 - Puisque pour tout n E N, f n est une application linéaire, on a
ll fn (x) - f m (x) ll = ll Un - f m )(x) ll � lll fn - f m I ll llxll ce qui d'après l'assertion (21) implique que
\ic E IR� 3N EN \i(m, n) E N 2 \i x E E
(25)
(n ? m ? N ===> ll fn (x) - f m (x) ll � é llxll) .
On a établi à la question précédente que pour tout x E E,
lim l l fn (x) - f m (x) ll = ll f(x) - f m (x) ll .
n-+ + oo
(73) •
•
.
Voir la propos1t1on 9.22 p. 572 .
601
2 - a) Montrons que l'application f: x E E � fx E E est un endomorphisme.
Soient y et z deux éléments de E et >., µ deux scalaires. Pour tout n E N,
l'application fn étant un endomorphisme de Eon a
fn (Ày + µz) = Àfn (Y) + µfn (z)
Comme pour tout x E E, la suite Un (x))n converge dans (E, I l · Il ) vers
fx = f( x ), la suite de terme général fn (Ày + µz) converge vers f(>.y + µz).
On déduit par ailleurs des propriétés de la limite que la suite de terme général
>.f n (Y) + µf n (z) converge vers >.f(y) + µf(z). Par unicité de la limite d'une
suite on obtient
f (>.y + µz) = >. j (y) + µf (z)
ce qui permet de conclure que f est une application linéaire de E dans E.
b) Montrons maintenant que f est un endomorphisme continu. Pour tout
x E Eon obtient d'après (22) considérée avec c 1 = llxll ,
3N EN \i(m, n) E N 2 (n ? m ? N ===> ll fn (x) - f m (x) ll � llxll) . (23)
Puisque la suite de terme général fn (x) converge vers f (x), pour tout m E N,
la suite de terme général f n (x) - f m (x) converge vers f (x) - f m (x). La norme
I l Il
E ,
l ' .
.
(73)
E
·
sur etant une app 1catlon contmue sur , on a
lim l l fn (x) - f m (x) ll = l l f(x) - f m (x) ll .
n-+ + oo
On déduit de (23) (en considérant N = E(N) + 1) que
3N EN* \im EN (m ? N ===> ll f(x) - f m (x) ll � llxll)
(24)
puis en utilisant successivement l'inégalité triangulaire, la relation (24) et le
fait que f N est une application linéaire continue, que
.
ll f(x) ll � ll f(x) - f N (x) ll + ll f N (x) ll � llxll + ll f N (x) ll
� llxll + lll f N Ill llxll = (1 + lll f N lll) llx ll .
La quatrième assertion du théorème 9.3 permet de conclure à la continuité de f
sur E.
3 - Puisque pour tout n E N, f n est une application linéaire, on a
ll fn (x) - f m (x) ll = ll Un - f m )(x) ll � lll fn - f m I ll llxll ce qui d'après l'assertion (21) implique que
\ic E IR� 3N EN \i(m, n) E N 2 \i x E E
(25)
(n ? m ? N ===> ll fn (x) - f m (x) ll � é llxll) .
On a établi à la question précédente que pour tout x E E,
lim l l fn (x) - f m (x) ll = ll f(x) - f m (x) ll .
n-+ + oo
(73) •
•
.
Voir la propos1t1on 9.22 p. 572 .