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Solutions des exercices
ll (f n ) lli
1
b - a
.
puis que llfn lli
= -
:;:;
+ 1 _ e -n (b - a) . Comme n _!! � 00 ll( f n ) ll 1 = b - a
le théorème d'encadrement appliqué à la relation (20) permet de conclure que
llllll = b - a .
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.8
Le fait que le noyau de p est fermé est une propriété qui a été établie p. 581
pour toute application linéaire continue. Intéressons-nous à l'image de p :
lm(p) ={y E E ; 3 x E E y =p(x)}.
Soit y E Im(p) ; il existe x E E tel que p(y) = p(p(x)) = p(x) =y donc tout
élément de Im(p) vérifie p(y) =y. Inversement, si y= p(y) alors y appartient
à Im(p) (prendre x = y) . On a donc
Im(p) ={y E E ; p(y) =y} = {y E E ; p(y) - y= 0} = Ker(p - idE) ·
Comme p est continue sur E, l'application f = p - idE est un endomorphisme
de E continu. Son noyau est donc fermé dans E ; cela implique que Im(p) est
fermé dans E (voir p. 581) .
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.9
1 - La suite U n ) n étant une suite de Cauchy dans .Cc(E), on a ( n )
'Vé E JR.� 3N EN \f(m, n) E N 2 (n ? m ? N ====> lllfn - f m lll � é ) . (21)
Or, f étant un endomorphisme continu, pour tous x E E et m, n E N,on a c7 2 l
llfn (x) - f m (x) ll = ll(fn - f m )(x) ll � lllfn - f m Ill llxll .
Soient € 1 un réel strictement positif fixé et x E E avec x =f:. OE ; d'après l'assertion (21) considérée avec é = € 1 / llxll , il existe NE N tel que
On déduit des deux dernières assertions que pour tout x E E avec x =f:. OE on
a:
\f é 1 E JR.� 3N EN \f(m, n) E N 2 (n ? m ? N =? ll f n (x) - f m (x) ll � € 1 ) .
(22)
Si x = OE alors l'assertion est encore vraie car on a dans ce cas
llfn (x) - f m (x) ll = 0 � é 1 •
D'après l'assertion 22, pour tout x E E, la suite U n (x)) n est une suite de
Cauchy dans (E, Il · I l ). L'espace vectoriel normé (E, I l · ID étant complet, la
suite U n (x)) n converge dans (E, li · li ) vers un élément fx de E.
<71> voir la définition 7.20 p. 398.
<72) Voir p. 579.