Limite et continuité
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on en conclut que :
N(P + Q) � l ao l + lbo l + max { j k ak i } + max { jk bkj} = N(P)+N (Q).
kE{l, ... ,n}
kE{l, . . . ,n}
L'application N définit bien une norme sur OC[X].
3 - Montrons que l'application linéaire f qui à un polynôme P = L�= o ak X k
associe son polynôme dérivé P' = L�= l k ak x k - l = 2::.: ;:� (e + 1 ) a e +1 x e est
continue de (OC(X) , N) dans (OC(X) , Il · 11 00) . Pour tout P E OC[X] on a
l if( P) ll oo
llP' ll oo = max j(e + 1 ) ae+ 1 I = max jkak l
lE{ O , ... ,n - 1 }
kE{l, ... ,n}
� lao l + max jk ak l = N(P).
kE{l, . .. ,n}
La quatrième assertion du théorème 9.3 permet de conclure à la continuité de
l'application f (on a C = 1) .
SOLUTION DE L'EXERCICE 9. 7
1 - Pour tout f E C0([a, bj , IR) et pour tout x E [a, bj, on a
j (f)(x)j = 1 1
x f(t) dt/ � l
x l f(t)j dt � l
b
l f(t)j dt = llfjji .
On en déduit que
ce qui d'après le théorème 9.3 indique que est continue sur (C0([a, bj, IR) , Il · 111 ).
2 - Comme pour tout f E C0( [a, bj,IR), on a ll (f)ll 1 � (b - a)llf ll 1 , on en
déduit que
ll (f)ll 1
lllcplll =
sup
llf ll
� (b - a) .
fEC0([ a , b ),R)
1
NO
Considérons la suite U n)n de terme général f n : x E [a, b] 1---t n 2e n(a -x ) . Pour
tout n E N* , on a
(20)
Pour tous n EN et x E [a, bj , on a (f n)(x) = J: fn (t) dt = n(l - e n( a -x ) ) .
On en déduit que
llfnll 1 = l
b
lfn (x)j dx = l
b
fn (x) dx = (f n) (b) = n(l - e- n( b - a) )
i1 c}} (fn) ll 1 = l
b
cp(fn) (x) dx = e- n( b - a) + n(b - a) - 1