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Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.6
1 - Le fait que l'application f est une application linéaire découle des propriétés de la dérivation de polynôme, voir la proposition 6 .4 p. 234 du Cours de
première année ; pour tous P, Q E OC[X] et pour tous À E OC, on a
(P + Q)' = P' + Q' et (>.P)' = >.P'.
2 - Pour montrer que l'application N qui à un polynôme p = L � = O ak x k de
OC[X] associe le réel N(P) = lao l + max kE{l, ... ,n } l k ak l est une norme, il s'agit
d'établir les quatre conditions de la définition 7.3 p. 358.
L'application N est bien à valeurs positives. De plus, si P désigne le polynôme
nul alors tous les coefficients de P sont nuls de sorte que N(P) = O. Réciproquement, si un polynôme P = L � = o ak X k vérifie N(P) = 0 alors la o l = 0 et
pour tout k E {1, ... ,n} on a l k akl = 0 car une somme de réels positifs est
nulle si et seulement si chacun des termes de la somme est égal à O. On a donc
ak = 0 pour tout k E {O, ... , n} ce qui implique que P est le polynôme nul. Si
P = L � = O ak X k est un polynôme de OC[X] et À un réel, le polynôme À · P est
le polynôme de degré n dont les coefficients sont À ak pour k E { 0, . . . , n}. On
en déduit que
N(À· P) = IÀ ao l + max l k>.ak l = l>-l (l ao l + max l k ak l) = l>-I N(P).
kE{l, ... ,n }
kE{l, ... ,n }
Pour pouvoir affirmer que N est une norme sur OC[X], il reste à établir l'inégalité
triangulaire :
V(P, Q) E OC[X] x OC[X]
N(P + Q) � N(P) + N(Q).
Considérons deux polynômes p = L � = O ak x k et Q = L�n = O bk x k et supposons <7 0 > que le degré n de P soit supérieur au degré m de Q. De plus, si n > m,
on peut poser bk = 0 pour tout k E { m + 1, ... , n } . Le polynôme P + Q s'écrit
alors L kE{ O , ... ,n } (ak + bk) X k et on a
N(P + Q) = lao + bo l + max l k (ak + bk)j.
kE{l, ... ,n }
En utilisant la première inégalité triangulaire pour la valeur absolue (ou le
module si OC = q, on en déduit que
N(P + Q) �lao l + lbo l + max { l k akl + l kbk)I }.
kE{l, . . . ,n }
Comme pour tous réels 0:1 , 0: 2 , /31 , /3 2 , on a l'inégalité
<7 a > Cette hypothèse ne limite en rien la portée du raisonnement : étant donné deux polynômes, on peut toujours choisir d'appeler P celui de degré le plus élevé et Q l'autre.
Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.6
1 - Le fait que l'application f est une application linéaire découle des propriétés de la dérivation de polynôme, voir la proposition 6 .4 p. 234 du Cours de
première année ; pour tous P, Q E OC[X] et pour tous À E OC, on a
(P + Q)' = P' + Q' et (>.P)' = >.P'.
2 - Pour montrer que l'application N qui à un polynôme p = L � = O ak x k de
OC[X] associe le réel N(P) = lao l + max kE{l, ... ,n } l k ak l est une norme, il s'agit
d'établir les quatre conditions de la définition 7.3 p. 358.
L'application N est bien à valeurs positives. De plus, si P désigne le polynôme
nul alors tous les coefficients de P sont nuls de sorte que N(P) = O. Réciproquement, si un polynôme P = L � = o ak X k vérifie N(P) = 0 alors la o l = 0 et
pour tout k E {1, ... ,n} on a l k akl = 0 car une somme de réels positifs est
nulle si et seulement si chacun des termes de la somme est égal à O. On a donc
ak = 0 pour tout k E {O, ... , n} ce qui implique que P est le polynôme nul. Si
P = L � = O ak X k est un polynôme de OC[X] et À un réel, le polynôme À · P est
le polynôme de degré n dont les coefficients sont À ak pour k E { 0, . . . , n}. On
en déduit que
N(À· P) = IÀ ao l + max l k>.ak l = l>-l (l ao l + max l k ak l) = l>-I N(P).
kE{l, ... ,n }
kE{l, ... ,n }
Pour pouvoir affirmer que N est une norme sur OC[X], il reste à établir l'inégalité
triangulaire :
V(P, Q) E OC[X] x OC[X]
N(P + Q) � N(P) + N(Q).
Considérons deux polynômes p = L � = O ak x k et Q = L�n = O bk x k et supposons <7 0 > que le degré n de P soit supérieur au degré m de Q. De plus, si n > m,
on peut poser bk = 0 pour tout k E { m + 1, ... , n } . Le polynôme P + Q s'écrit
alors L kE{ O , ... ,n } (ak + bk) X k et on a
N(P + Q) = lao + bo l + max l k (ak + bk)j.
kE{l, ... ,n }
En utilisant la première inégalité triangulaire pour la valeur absolue (ou le
module si OC = q, on en déduit que
N(P + Q) �lao l + lbo l + max { l k akl + l kbk)I }.
kE{l, . . . ,n }
Comme pour tous réels 0:1 , 0: 2 , /31 , /3 2 , on a l'inégalité
<7 a > Cette hypothèse ne limite en rien la portée du raisonnement : étant donné deux polynômes, on peut toujours choisir d'appeler P celui de degré le plus élevé et Q l'autre.