Limite et continuité
597
On en déduit que f(y) = Op, ce qui permet de conclure que f est l'application
nulle.
SOLUTION DE L' EXERCICE 9.5
Commençons par remarquer que les implications suivantes sont vraies, pas
uniquement pour des applications linéaires, mais pour toute application de E
dans F (voir la proposition 9.16 p. 559) :
1. f est lipschitzienne sur E implique f est continue sur E;
2. f est lipschitzienne sur E implique f est uniformément continue sur E;
3. f est uniformément continue sur E implique f est continue sur E.
Pour établir l'équivalence des trois assertions proposées, il reste à établir que
pour les applications linéaires, on a les implications suivantes :
1. si f est continue sur E alors f est uniformément continue sur E ;
2. si f est continue sur E alors f est lipschitzienne sur E.
La troisième implication (si f est uniformément continue sur E alors f est
lipschitzienne sur E) s'obtiendra par transitivité.
1-Soit f une application linéaire de E dans F continue sur E. On a f(OE) =Op
et f étant continue en 0 E on a
Vé E �� 317 E �� \fz E E ( ll z ll E � 17 ==? ll f(z) llP � é ) .
(18)
Montrons que f est uniformément continue sur E, i.e. montrons que
V é E �� 317 E �� V(x,y) E E 2 ( llx - y ll E � 17 ==? ll f(x) - f(y) llP � é) .
(19)
Comme f est une application linéaire, pour tout ( x, y) E E 2 , on a
ll f(x) - f( y ) llP = ll f(x - y) llP et l'assertion (19) est une conséquence de
l'assertion (18) considérée avec z = x - y.
2 - Soit f une application linéaire de E dans F continue sur E; d'après le
théorème 9.3, il existe un réel positif C tel que pour tout z E E on ait
llf(z) llP � C ll z ll E · Montrons que f est lipschitzienne, i.e. montrons qu'il existe
un réel positif K tel que :
V(x,y) E E 2 ll f(x) - f(y) llP � K llx - Yll E ·
Comme f est une application linéaire, pour tout (x, y) E E 2 , on a
llf(x) - f(y) ll P = ll f(x - y) llP · L'hypothèse, qui se traduit par l'assertion (18),
considérée avec z = x - y indique que ll f(x) - f(y) llP � C llx - Yll E · On en
déduit que f est lipschitzienne de rapport K = C. On peut bien entendu démontrer ce résultat sans avoir recours au théorème 9.3 en utilisant directement
l'approche qui a permis d'établir dans la démonstration du théorème que si f
est une application linéaire de E dans F continue sur E alors il existe un réel
positif C tel que pour tout z E Eon ait ll f(z) llP � C ll z ll E ·
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On en déduit que f(y) = Op, ce qui permet de conclure que f est l'application
nulle.
SOLUTION DE L' EXERCICE 9.5
Commençons par remarquer que les implications suivantes sont vraies, pas
uniquement pour des applications linéaires, mais pour toute application de E
dans F (voir la proposition 9.16 p. 559) :
1. f est lipschitzienne sur E implique f est continue sur E;
2. f est lipschitzienne sur E implique f est uniformément continue sur E;
3. f est uniformément continue sur E implique f est continue sur E.
Pour établir l'équivalence des trois assertions proposées, il reste à établir que
pour les applications linéaires, on a les implications suivantes :
1. si f est continue sur E alors f est uniformément continue sur E ;
2. si f est continue sur E alors f est lipschitzienne sur E.
La troisième implication (si f est uniformément continue sur E alors f est
lipschitzienne sur E) s'obtiendra par transitivité.
1-Soit f une application linéaire de E dans F continue sur E. On a f(OE) =Op
et f étant continue en 0 E on a
Vé E �� 317 E �� \fz E E ( ll z ll E � 17 ==? ll f(z) llP � é ) .
(18)
Montrons que f est uniformément continue sur E, i.e. montrons que
V é E �� 317 E �� V(x,y) E E 2 ( llx - y ll E � 17 ==? ll f(x) - f(y) llP � é) .
(19)
Comme f est une application linéaire, pour tout ( x, y) E E 2 , on a
ll f(x) - f( y ) llP = ll f(x - y) llP et l'assertion (19) est une conséquence de
l'assertion (18) considérée avec z = x - y.
2 - Soit f une application linéaire de E dans F continue sur E; d'après le
théorème 9.3, il existe un réel positif C tel que pour tout z E E on ait
llf(z) llP � C ll z ll E · Montrons que f est lipschitzienne, i.e. montrons qu'il existe
un réel positif K tel que :
V(x,y) E E 2 ll f(x) - f(y) llP � K llx - Yll E ·
Comme f est une application linéaire, pour tout (x, y) E E 2 , on a
llf(x) - f(y) ll P = ll f(x - y) llP · L'hypothèse, qui se traduit par l'assertion (18),
considérée avec z = x - y indique que ll f(x) - f(y) llP � C llx - Yll E · On en
déduit que f est lipschitzienne de rapport K = C. On peut bien entendu démontrer ce résultat sans avoir recours au théorème 9.3 en utilisant directement
l'approche qui a permis d'établir dans la démonstration du théorème que si f
est une application linéaire de E dans F continue sur E alors il existe un réel
positif C tel que pour tout z E Eon ait ll f(z) llP � C ll z ll E ·