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Solutions des exercices
Comme la limite en 0 de f(cp(t))), qui vaut 1/À, dépend de la valeur de À,
l'application f n'a pas de limite à l'origine.
6 - La fonction f: (x 1 , x2 ) E IB. 2 1-+ x 1 xV(xf + x�) est définie sur IB.;. Considérons l'arc paramétré cp : t E lR 1-+ t u avec u = ( 1, À) où À désigne un réel fixé
dont l'image est une droite passant par l'origine. On a (0 , 0) = cp(O) et
À 2 t 3
tÀ 2
\ft E lR
f(cp(t))) = t 4 + À 2 t 2 t 2 + À 2.
La limite en 0 de f(cp(t))) vaut O. Contrairement à la fonction précédente, on n'a
pas pu établir que f n'avait pas de limite en (0, 0) par cette méthode. Par contre,
on peut déduire de cette étude que si la limite de f en (0, 0) existe, elle vaut O.
Essayons d'établir que fa pour limite 0 en (0, 0) . Pour tout (x 1 , x2 ) E IB.;, on a
xf + x� � x� � 0 donc
.
l x 1 x� I
0 !( l f(x 1 ,x2 ) I !( - 2 - = l x 1 I !( ll (x 1 ,x2 ) lli ·
X2
Le théorème d'encadrement permet de conclure que fa pour limite 0 en (0, 0).
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.4
1 - L'application f étant une application linéaire de E dans F, on a pour tous
x et y dans E : f( x +y)= f( x ) + f(y) . En particulier en prenant y= - x ,
on obtient d'une part
f( x +y) = f ( x - x ) = f (DE)
et d'autre part,
f( x ) + f(y) = f( x ) + f(- x ) = f( x ) - f( x ) =OF .
On peut donc en conclure que f(O E ) = OF.
2 - Pour montrer que f est l'application nulle, considérons un élément y quelconque de E et montons que f(y) = OF.
L'ensemble U étant non vide, il existe a E U tel que f(a) = OF. De plus, U
étant un ouvert < 0 9> il existe r E IB.+ tel que la boule ouverte B( a, r ) soit incluse
dans U.
Soit y un élément quelconque de E différent de Ü E et z =a+ 2 1 j Y 1 I E . On a
On en déduit que z appartient à B(a, 1·) , donc que z appartient à U. D'après
l'hypothèse, cela implique que f(z) =OF . Or, f étant une application linéaire,
on a
r
f(z) =
!J:l
+ 2 llYllE
f (y) .
=OF �
�o
( G 9l Voir la définition 7. 7 p. 371.
Solutions des exercices
Comme la limite en 0 de f(cp(t))), qui vaut 1/À, dépend de la valeur de À,
l'application f n'a pas de limite à l'origine.
6 - La fonction f: (x 1 , x2 ) E IB. 2 1-+ x 1 xV(xf + x�) est définie sur IB.;. Considérons l'arc paramétré cp : t E lR 1-+ t u avec u = ( 1, À) où À désigne un réel fixé
dont l'image est une droite passant par l'origine. On a (0 , 0) = cp(O) et
À 2 t 3
tÀ 2
\ft E lR
f(cp(t))) = t 4 + À 2 t 2 t 2 + À 2.
La limite en 0 de f(cp(t))) vaut O. Contrairement à la fonction précédente, on n'a
pas pu établir que f n'avait pas de limite en (0, 0) par cette méthode. Par contre,
on peut déduire de cette étude que si la limite de f en (0, 0) existe, elle vaut O.
Essayons d'établir que fa pour limite 0 en (0, 0) . Pour tout (x 1 , x2 ) E IB.;, on a
xf + x� � x� � 0 donc
.
l x 1 x� I
0 !( l f(x 1 ,x2 ) I !( - 2 - = l x 1 I !( ll (x 1 ,x2 ) lli ·
X2
Le théorème d'encadrement permet de conclure que fa pour limite 0 en (0, 0).
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.4
1 - L'application f étant une application linéaire de E dans F, on a pour tous
x et y dans E : f( x +y)= f( x ) + f(y) . En particulier en prenant y= - x ,
on obtient d'une part
f( x +y) = f ( x - x ) = f (DE)
et d'autre part,
f( x ) + f(y) = f( x ) + f(- x ) = f( x ) - f( x ) =OF .
On peut donc en conclure que f(O E ) = OF.
2 - Pour montrer que f est l'application nulle, considérons un élément y quelconque de E et montons que f(y) = OF.
L'ensemble U étant non vide, il existe a E U tel que f(a) = OF. De plus, U
étant un ouvert < 0 9> il existe r E IB.+ tel que la boule ouverte B( a, r ) soit incluse
dans U.
Soit y un élément quelconque de E différent de Ü E et z =a+ 2 1 j Y 1 I E . On a
On en déduit que z appartient à B(a, 1·) , donc que z appartient à U. D'après
l'hypothèse, cela implique que f(z) =OF . Or, f étant une application linéaire,
on a
r
f(z) =
!J:l
+ 2 llYllE
f (y) .
=OF �
�o
( G 9l Voir la définition 7. 7 p. 371.