Limite et continuité
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SOLUTION DE L'EXERCICE 9.3
1 - La fonction f: (x1 , x2 ) E IR 2 1--- -> xi f Jxî + x� est définie sur JR; . Sa première
application partielle en (0, 0) est l'application f (o, 0 ),1 : x1 E IR* 1--- -> xi f l xi l .
Comme celle-ci n'admet pas de limite en 0, on en déduit que f n'a pas de
limite en (0, 0).
2 - La fonction f : (xi , x 2 ) E IR 2 1--- -> 1 sin(x1 + x 2) I/ J xi + x� est définie sur JR; .
Comme sin(u) "' u, on a pour tout À E lR
0
f(x Àx )
=
1 sin((À + l)x1 ) I
i , 1
J(l + À 2 )xî
On en déduit que f n'a pas de limite en (0, 0).
3 - La fonction f : (x1 , x2) E IR 2 1--- -> sin(xî + x�)/ ( l x11 + l x 2 1 ) est définie sur JR; .
Pour tout x
=
(x1 , x 2 ) E JR; , on a
. ( 2 + 2 )
2 + 2
f(x1 , x 2 )
=
S ll1 X1 X 2
X
X1 X 2 .
xi + x�
l x11 + l x 2 I
. ( )
1 .
si n (x�+x�) l p " 11
Puisque s111 u 0 u, on a llll (x 1 ,x 2 )_,( 0 , 0 ) x î+ x�
=
. a.r a1 eurs,
Comme sur IR 2 , toutes les normes sont équivalentes, il existe C E JR+ tel que
llxll�/ llxll1 :;( C llxll 2 . On en déduit que lim (x 1 ,x 2 )_,(o,o) 1:.�!j}2 1
=
0 et par
conséquent que f a pour limite 0 en (0, 0).
4 - Pour tout (x1 , x 2 ) E IR 2 avec x1 i 0 et x 2 i 0 on a
f(
)
ln(l + X1X2 )
X1X2
X 1 , X2
=
X ----r=;<= ===;c
X1X2
Jxî + X�
C
1.
0 t
l"
l n ( I +u) 1
omme lll1(x 1 ,x 2 )_,(o ,o ) X1X2 = e que m1u_,o u
=
on a
l "
In ( I +x 1 x 2 ) l p " 11
21
1 � 2 + 2
im (x 1 ,x 2 )->( 0 , 0 ) x , x 2
= . ar a1 eurs, comme X1X2 "" x 1 x 2 on a
lx1 x 2 I
1 . / 2
2 _ 1
ll(
) Il
0 :;(
.j 2
2 :;(2 y X 1 + X 2 -2 X1, X2 2
X 1 +x 2
et d'après le théorème d'encadrement lim (x 1 ,x 2 )_,(o ,o ) �
=
O. Enfin, en
restriction aux droites d'équations x1 = 0 et x 2 = 0, f est l'application nulle
donc elle admet également 0 pour limite en (0, 0). On en conclut que
lim (x 1 ,x 2 )->( 0 , 0 ) f (xi , x 2 )
=
O.
5 - La fonction f: (x1 , x 2 ) E IR 2 1--- -> x1 xV(xf + x�) est définie sur JR; . Considérons l'arc paramétré

t u avec u
=
(1 , À) où À désigne un réel fixé
dont l'image est une droite passant par l'origine. On a (0, 0)
=
ip(O) et
'v' t E lR