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Solutions des exercices
9.6 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.1
Puisque Ô E est une distance sur E équivalente à d E , il existe C 1 , C 2 E lR"f- tels
que C 1 d E :;:; Ô E :;:; C 2 d E et puisque Ôp est une distance sur F équivalente
à dp , il existe Cf, C2 E lR"f- tels que Cl dp :;:; Ôp :;:; C2 dp . On en déduit que
pour tout (x, y) E E 2 on a
ô p (f(x), f(y)) :;:; c� dp (f(x), f(y)) :;:; c� k dE(x, y) :;:; c� k 0:; 1 ôE (x, y).
L'application f est donc une application lipschitzienne de (E, Ô E) dans (F, Ôp)
de rapport C2 C1 1 k. On notera toutefois que le rapport dépend en général des
distances choisies sur E et F.
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.2
1 - a) On a
U = 1- 1 (]a, +oo[) = {x E E ; f(x) >a},
V = g - 1 (] - oo ,a[) = {x E E ; g(x)
ce qui implique que x E A. On en déduit que U n V c A.
( 66)
•
.
Pour montrer que A est ouvert, montrons que pour tout a E A, il existe
r E lR"f- tel que B(a, r) C A. Soit a E A; on a f(a) > g(a) et par conséquent
g(a) < a < f (a) ce qui indique que a E U et a E V. Les ensembles U et V sont
des ensembles ouverts (ils sont images réciproques d'intervalles ouverts de lR
par des fonctions continues) donc Un V est un ensemble ouvert c 6 7 ) .
Comme a est un élément de Un V et que Un V est ouvert, on en déduit qu'il
existe r E lR"f- tel que B(a, r) C (Un V). Pour conclure que A est ouvert, il
suffit d'utiliser l'inclusion Un V c A.
2 - Notons B = {x E E ; f(x) :;:; g(x)}; montrer que f(x) :;:; g(x) pour tout
x E E revient à montrer que B = E. Par hypothèse, D C B C E ce qui
( 6 8) - -
-
implique que D c B CE. Or, comme D est dense dans E, on a D = E et
par conséquent B = E. Ainsi, montrer que B = E, revient à montrer que B
est fermé (car on a alors B = B) . L'ensemble Best bien un fermé de E car son
complémentaire est
CE B = {x E E; f(x) > g(x) } = A
et on a montré que A est un ouvert.
< 66) Vo ir la définition 7. 7 p. 371.
< 6 7 > Vo ir la proposition 7.9 p. 375.
< 6 8) Vo ir la proposition 7.11 p. 379.
Solutions des exercices
9.6 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.1
Puisque Ô E est une distance sur E équivalente à d E , il existe C 1 , C 2 E lR"f- tels
que C 1 d E :;:; Ô E :;:; C 2 d E et puisque Ôp est une distance sur F équivalente
à dp , il existe Cf, C2 E lR"f- tels que Cl dp :;:; Ôp :;:; C2 dp . On en déduit que
pour tout (x, y) E E 2 on a
ô p (f(x), f(y)) :;:; c� dp (f(x), f(y)) :;:; c� k dE(x, y) :;:; c� k 0:; 1 ôE (x, y).
L'application f est donc une application lipschitzienne de (E, Ô E) dans (F, Ôp)
de rapport C2 C1 1 k. On notera toutefois que le rapport dépend en général des
distances choisies sur E et F.
SOLUTION DE L'EXERCICE 9.2
1 - a) On a
U = 1- 1 (]a, +oo[) = {x E E ; f(x) >a},
V = g - 1 (] - oo ,a[) = {x E E ; g(x)
ce qui implique que x E A. On en déduit que U n V c A.
( 66)
•
.
Pour montrer que A est ouvert, montrons que pour tout a E A, il existe
r E lR"f- tel que B(a, r) C A. Soit a E A; on a f(a) > g(a) et par conséquent
g(a) < a < f (a) ce qui indique que a E U et a E V. Les ensembles U et V sont
des ensembles ouverts (ils sont images réciproques d'intervalles ouverts de lR
par des fonctions continues) donc Un V est un ensemble ouvert c 6 7 ) .
Comme a est un élément de Un V et que Un V est ouvert, on en déduit qu'il
existe r E lR"f- tel que B(a, r) C (Un V). Pour conclure que A est ouvert, il
suffit d'utiliser l'inclusion Un V c A.
2 - Notons B = {x E E ; f(x) :;:; g(x)}; montrer que f(x) :;:; g(x) pour tout
x E E revient à montrer que B = E. Par hypothèse, D C B C E ce qui
( 6 8) - -
-
implique que D c B CE. Or, comme D est dense dans E, on a D = E et
par conséquent B = E. Ainsi, montrer que B = E, revient à montrer que B
est fermé (car on a alors B = B) . L'ensemble Best bien un fermé de E car son
complémentaire est
CE B = {x E E; f(x) > g(x) } = A
et on a montré que A est un ouvert.
< 66) Vo ir la définition 7. 7 p. 371.
< 6 7 > Vo ir la proposition 7.9 p. 375.
< 6 8) Vo ir la proposition 7.11 p. 379.