Limite et continuité
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Exercice 9. 13
Soit b une fonction positive et continue sur [ü , T] (où T E JR'.'f_ est fixé) . On
s'intéresse au problème suivant
(Gs)
: trouver y E C 1 ( [ O , T], JR) telle que
(P)
{ y' (t)
y(O)
b(t)
\:/t E [ü , T]
=
yfl +y(T)
1 - Justifier que résoudre le problème (P) revient à trouver y E C0([0 , T], JR)
telle que
\:/t E [ O ,T]
y(t) = Ji + y(T) +lat b(s) ds.
2 - Dans C0([0 , T], JR) muni de la norme uniforme, montrer que l'ensemble A
des fonctions positives est complet.
3 - En utilisant le théorème du point fixe, montrer que le problème (P) admet
une unique solution.
Exercice 9. 14
Soit f une forme linéaire sur C0( [0 , 1], JR) qui vérifie la propriété (P) suivante :
« l'image par f de toute application continue et positive
sur [ O , 1 J est un réel positif. »
Le but de cet exercice est de montrer que f est une application continue de
(C0([0 , 1], JR) , 1 1 · lloo ) dans (JR, l
· I).
1 - Donner un exemple d'application de .C((C0( [0 , 1], JR) , JR) vérifiant la propriété (P) et calculer l'image par cette application de la fonction constante
égale à 1.
2 - a) Montrer que si f est une forme linéaire sur C0( [0 , 1], JR) vérifiant la
propriété (P) alors f est une application croissante.
b) En déduire que pour tout h E c0( [0 , 1], JR) on a l f(h) I � f( l h l ) puis que
f ( l h l ) � ll h/ loo f (i) où J. désigne la fonction constante égale à 1.
3 - Montrer que f est une application continue de (C0(1o , 1], JR) , Il · 1100) dans
(JR, / · 1 ) et calculer la norme linéaire de f.
(Bs) La fonction y représente l'évolution au cours du temps d'une certaine quantité dont on
souhaite relier la valeur initiale et la valeur finale. Cette problématique intervient par
exemple en sciences financières où il est essentiel de pouvoir relier valeur initiale et valeur
finale d'un investissement.