592
Exercices de synthèse
Graphiquement, on remarque que la suite de fonctions polynomiales U n ) n
converge très rapidement. Le tracé plus sombre, correspondant à la superposition des représentations graphiques des fonctions f4 à fio, donne la forme
de la représentation graphique de notre solution. D'après la proposition 9.24,
l'écart entre le n - ième terme de la suite U n ) n et la solution exacte mesuré par
la distance subordonnée à la norme infinie est majoré par
2- n
2 1 - n ll fi - fo lloo = 2 1 - n sup l�x 3 - �x 2 1 = -.
xE(O,l)
3
Ainsi, f n sera une approximation de la solution avec une erreur inférieure à 1
pour cent pour n tel que 2- n /3 � 10 - 2 soit pour n � - ln(3 10 - 2 )/ 111 (2) . La
fonction polynomiale f 6 convient ; son expression est
-
1
13
1
12
1
11
1 1 0
1 9
1 8
f G ( X ) - - 135135 X + 46080 X + 10395 X
-
3840 X
-
945 X +
384 X
1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2
+-x - -x - -x +-x +-x - - x +l.
105
48
15
8
3
2
Insistons sur le fait que 2- n /3 est un majorant de l'erreur maximale commise
sur l'intervalle [O, 1) ; l'erreur réellement commise peut être très inférieure à ce
majorant.
9.5 Exercices de synthèse
Exercice 9.12
1 - Soient ( E, Il · Il E) et ( F, Il · I l F ) deux OC-espaces vectoriels normés et f une
application linéaire de E dans F vérifiant la propriété suivante : pour toute
suite (x n ) n d'éléments de E convergeant pour Il · ll E vers OE, la suite de terme
général f (x n ) est bornée dans (F, Il · llF ) .
a) Montrer que < 6 4> si une suite (Y n ) n d'éléments de E converge vers OE alors
la suite de terme général f ( Yn ) converge vers OF.
b) En déduire que f est une application continue sur E.
2 - a) Montrer, en utilisant le résultat établi à la question précédente, que la
forme linéaire f : h E C 0 ([0, 1), IR) � h(l) n'est pas continue si C 0 ([0, 1), IR) est
muni de la norme : h E C 0 ([0, 1], JR.) � Jd l h(x)I dx (norme de la convergence
en moyenne, notée l i · 111 ).
b) Montrer que f est une application continue de (C 0 ( [0, 1], JR.), 11·11 00 ) dans R.
< 5 4> On pourra considérer une suite (un)n d'éléments de E convergeant vers OE telle que pour
tout n EN on ait Xn = vllxnllE U n .
Exercices de synthèse
Graphiquement, on remarque que la suite de fonctions polynomiales U n ) n
converge très rapidement. Le tracé plus sombre, correspondant à la superposition des représentations graphiques des fonctions f4 à fio, donne la forme
de la représentation graphique de notre solution. D'après la proposition 9.24,
l'écart entre le n - ième terme de la suite U n ) n et la solution exacte mesuré par
la distance subordonnée à la norme infinie est majoré par
2- n
2 1 - n ll fi - fo lloo = 2 1 - n sup l�x 3 - �x 2 1 = -.
xE(O,l)
3
Ainsi, f n sera une approximation de la solution avec une erreur inférieure à 1
pour cent pour n tel que 2- n /3 � 10 - 2 soit pour n � - ln(3 10 - 2 )/ 111 (2) . La
fonction polynomiale f 6 convient ; son expression est
-
1
13
1
12
1
11
1 1 0
1 9
1 8
f G ( X ) - - 135135 X + 46080 X + 10395 X
-
3840 X
-
945 X +
384 X
1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2
+-x - -x - -x +-x +-x - - x +l.
105
48
15
8
3
2
Insistons sur le fait que 2- n /3 est un majorant de l'erreur maximale commise
sur l'intervalle [O, 1) ; l'erreur réellement commise peut être très inférieure à ce
majorant.
9.5 Exercices de synthèse
Exercice 9.12
1 - Soient ( E, Il · Il E) et ( F, Il · I l F ) deux OC-espaces vectoriels normés et f une
application linéaire de E dans F vérifiant la propriété suivante : pour toute
suite (x n ) n d'éléments de E convergeant pour Il · ll E vers OE, la suite de terme
général f (x n ) est bornée dans (F, Il · llF ) .
a) Montrer que < 6 4> si une suite (Y n ) n d'éléments de E converge vers OE alors
la suite de terme général f ( Yn ) converge vers OF.
b) En déduire que f est une application continue sur E.
2 - a) Montrer, en utilisant le résultat établi à la question précédente, que la
forme linéaire f : h E C 0 ([0, 1), IR) � h(l) n'est pas continue si C 0 ([0, 1), IR) est
muni de la norme : h E C 0 ([0, 1], JR.) � Jd l h(x)I dx (norme de la convergence
en moyenne, notée l i · 111 ).
b) Montrer que f est une application continue de (C 0 ( [0, 1], JR.), 11·11 00 ) dans R.
< 5 4> On pourra considérer une suite (un)n d'éléments de E convergeant vers OE telle que pour
tout n EN on ait Xn = vllxnllE U n .