Limite et continuité
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Munissons l'espace vectoriel C0(I, �) de la norme infinie et montrons que est
contractante dans (C0(I, �) , l i · 1100) . Soient tp1 et tp 2 deux applications continues
sur I et x E I ; on a
l (cp 1 )(x) - ( cp 2 (x)) J
l l
x
(s 2 - s cp 1 (s)) ds - l
x
(s 2 - s cp 2 (s)) ds l
= l l
x
s (cp 1 (s) - cp 2 (s)) dsl � l
x
l s ljcp 1 (s) - cp 2 (s)j ds.
Or, pour tout s E [O, x] on a
jcp 1 (s) - tp 2 (s)j � sup jcp 1 (t) - tp 2 (t)j � sup jcp 1 (t) - tp 2 (t)j
tE[O,x)
tEJ
et fô "C l s l ds = f ô "C s ds = �x 2 � �· On en déduit que pour tout x E Ion a
l ( cp 1 ) (x) - ( cp 2 (x))I � � ll 'P 1 - 'P 2 ll oo ,
ce qui implique que ll ( cp 1 ) - ( cp 2 ) ll oo � � ll 'P 1 - 'P 2 ll oo· Ainsi, l'application
est contractante dans (C0(I, �) , l i· 1100) qui est un espace de Banach (voir p. 403)
et le théorème du point fixe indique que la suite de fonctions Un)n définie par
la relation de récurrence f n + l = (f n) converge quel que soit le choix de la
fonction fo vers l'unique point fixe de . Ce point fixe coïncide sur I avec
la solution de l'équation différentielle (17) sous la condition initiale y(O) = 1 .
On peut établir en utilisant un raisonnement par récurrence que si f o est une
fonction polynomiale de degré p, alors f n est une fonction polynomiale de degré
p + n pour tout n E N* . Cela permet de construire très facilement une suite
de fonctions qui converge vers la solution recherchée. Illustrons cette étude
avec MAPLE.
> N:=10: f:=a rra y(O .. N);
> Phi :=phi -> una pp ly(yO +int(g(t)-t* phi(t),t=O .. x),x):
> f [O] : = x-> 1;
> for n from 1 to N do
f[n] := Phi(f[n-1]);
od;
> pl ot([seq(f[i](x),i=l .. N)] ,x=O .. 1.1);
1.05
0.95
0.9
0.85
0.8 0
0.2
0.4
0.6
0.8