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Le théorème du point fixe
Exercice 9.11 Soient f E C0 ( [0 , 1], IR) et k E C0((0 ,lj 2 ,JR) telle que
sup (x, y )E[ O, l ]2 l k(x, y)I = ! · On considère l'application

Vx E [ O , 1] ef>(g)(x) = f(x) + 11 k(x, y) g(y) dy.
En utilisant le théorème du point fixe, montrer qu'il existe une unique application g E C0( [ 0 , 1], IR) solution de l'équation de Volterra c 63 > :
Vx E [ O , 1] g(x) = f(x) + 11 k(x, y) g(y) dy.
Application du théorème du point fixe à l'étude d'équations différentielles
Le théorème du point fixe est également un outil important pour l'étude et la
résolution de certaines équations différentielles. Nous allons l'illustrer au travers
d'exemples.
Considérons l'équation différentielle linéaire du premier ordre
y'(t) + t y(t) = t 2
(17)
sur l'intervalle I = [ O , 1] sous la condition initiale y(O) = 1 . L'équation homogène associée à (17) admet pour solution générale y 0 : x E I t-t C e - x 2 1 2 où C
désigne une constante réelle. On peut penser avoir recours à la méthode de la
variation de la constante pour déterminer une solution particulière de l'équation (17) : une solution particulière est de la forme y
1
: x E I t-t C(x)e - x 2 / 2 où
C(x) = j x 2 e - x 2 /2 dx. Malheureusement, cette primitive n'est pas exprimable
à l'aide des fonctions usuelles.
Le théorème du point fixe permet toutefois de construire une suite de fonctions
qui converge vers la solution y de notre équation. On peut remarquer que cette
solution y vérifie pour tout t E J,
y(t) = y(O) + 1t y'(s) ds = 1 + 1t (s 2 - sy(s)) ds;
elle est donc point fixe de l'application :

(cp) E C0(J , !R) où
pour tout x E J ,
(cp)(x) = 1 + 1
x
(s 2 - scp(s)) ds.
< 63) VOLTERRA, Vito (1860, Ancône - 1940, Rome) . Mathématicien italien.