Limite et continuité
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On peut obtenir une valeur approchée de cette solution en considérant la suite
(u n ) n définie par la relation de récurrence U n + l = (un ) à partir d'une valeur
u 0 = (u�
1)
, u� 2) ) quelconque. D'après la proposition 9.24, le n - ième terme de
cette suite est une approximation du point fixe recherché et l'erreur commise
est inférieure à
k n
k n
(
(2)
(1)
I
. (1) (2) )
1
_
k llu1 - uo ll= = 1 _ k
max l>.1 cos(u 0 ) - u 0 1 , À 2 sm(u 0 ) - u 0 1 .
L'erreur est donc majorée par M n = 2k n /(1 - k).
Considérons le cas où À1 = À 2 = ! · On obtiendra une valeur approchée de la
solution avec une erreur inférieure à 10 - 3 en prenant n tel que M n ::;; 10 - 3 .
Cette valeur correspond à n = 12. Le programme MAPLE ci-dessous met en
œuvre l'approche qui vient d'être décrite pour calculer une valeur approchée
de :X.
> lambda 1:=1/2: lambda 2:=1/2: k:=max(a bs(lambda 1),a bs(lambda 2)):
> Phi:= x->[lambda1* cos(x[2]),lambda2* sin(x[1])]:
> err:=l0-(-3): n:=ceil(solve(2* k-x/(1-k)=err,x)):
> u:=a rray(O .. n): u[O] :=[0,0]:
> for i from 1 to n do
u[i]:=eva lf(P hi(u[i-1]),4):
od;
u[l] := (.5000, O.]
u[2] := [. 5000. . 2397]
u[3] := [.4857' . 2397]
u[4] := [.4857' .2334]
u[5] := (.4864, .2334]
u[6] := [.4864, . 2337]
u[7] := [.4864, . 2337]
u[8] · = [.4864, . 2337]
u[9] := [.4864, .2337]
u[10] · = [.4864, .2337]
u[11] := [.4864, . 2337]
u[12]
[.4864, . 2337]
On peut constater qu'à partir de u5 la valeur approchée de la solution n'évolue
plus si l'on s'intéresse à une précision de 10 - 3 . Cela est à mettre en relation
avec la fait que la valeur n = 12 a été obtenue en effectuant une majoration de
l'erreur commise ; l'erreur réelle étant en général inférieure au majorant obtenu.
Le théorème du point fixe a également un rôle dans l'étude des équations dites
« intégrales » comme l'illustre l'exercice suivant.