588
Le théorème du point fixe
� La seconde partie de la proposition se démontre par récurrence sur n. Pour
n = 0, l'inégalité qui s'écrit d(u1 , uo):::; ; d(u1 , uo) est vraie. Supposons la relation vraie pour un entier n donné. En utilisant successivement le fait que (
est point fixe de f, que f est contractante de rapport k puis l'hypothèse de
récurrence, on obtient
La relation est donc encore vraie pour l'entier n + 1. On en conclut que la
relation est vraie pour tout n E N.
D
Application du théorème du point fixe à la résolution de systèmes d'équations
non linéaires
Le théorème du point fixe joue un rôle essentiel dans l'étude et la résolution de
systèmes d'équations non linéaires. Intéressons-nous par exemple à la résolution
du système
(S)
{ x1 = À1 cos(x 2 )
x 2 = À 2 sin(xi )
où >.1 et >.2 désignent deux réels appartenant à ] - 1, l[. Les solutions de ce
système sont les points fixes de l'application
: (x1 , x 2 ) E IR 2 1--7 (>.1 cos(x 2 ), À 2 sin(x1 )) E IR 2 .
On peut remarquer que (IR 2 ) =] - >.1, >.i [ x ] - >.2 , À 2 [C [- 1, 1] 2 ce qui implique
que les points fixes de appartiennent nécessairement à D = [- 1, 1 ] 2 . L'espace
vectoriel IR 2 muni de l'une quelconque de ses normes est un espace de Banach,
voir la proposition 7.18 p. 408. Par ailleurs, D est un sous-ensemble fermé
de IR 2 donc il est complet, voir la proposition 7.19 p. 412. Pour pouvoir utiliser
le théorème du point fixe, il reste à montrer que est contractante dans IR 2
que l'on munit de la norme infinie. Soient x = (x1 , x 2 ) et y = (y1 , Y2) deux
éléments de IR 2 ; on a
Or,
l cos(x 2) - cos(y 2 ) I
2 lsin { ! (x2 + Y2)) sin ( � (x2 - Y2)) 1 ,
l sin(x i ) - sin(y i ) I
2 icos (� (x1 +y i )) sin (� (x1 - y1))I ,
et pour tout (x, y) E D 2 on a lsin a (x 2 +Y2))1 :::; ; 1 et !cos a (x1 +Y1 ))1 :::; ; 1.
Par ailleurs, comme pour tout u E lR on a 1 sin(u) I :::; ; l ui, on en déduit que
L'application est donc une application contractante de D dans D de rapport
k = max( l>.1 1 , l >- 2 1 ) < 1 pour la norme infinie. Le théorème du point fixe permet
de conclure que admet un unique point fixe dans D. Cela signifie que le
système (S) admet une unique solution x appartenant à D.