Limite et continuité
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PROPOSITION 9.24 Soit (E, d) un espace métrique complet et f une application de E dans E contractante de rapport k E [ü , l[. Pour tout a E E, la
suite (un)n définie par uo = a et Un+i = f(un), qui converge vers l'unique
. fi ;- d f
, :f; ( 6 0)
1M
point xe .,, e , veriJ.e pour tout n E i'l :
Démonstration 12: Pour tous N E N* et n E N, on obtient en utilisant l'inégalité triangulaire :
d(un,() � d(un, Un+1)+d(un +1, Un+2)+ ...
· · · + d(un+N, Un+N�I) + d(un+N+l, ( )
N+n
L d(uj, Uj+1) + d(un+N+l, () .
(16)
j=n
Or, comme f est contractante de rapport k E [ O , 1[, oh a pour tout j EN* :
On montre par récurrence que cela implique que pour tout j E N, on a :
d(uj, Uj+i) � ki d(u1, uo). On déduit alors de l'inégalité (16) que pour tous
NE N* et n EN on a < 61 >
N+n
d(un,() � L kid(u i,u o) +d(un+N+1,()
j=n
1 - k N+l
k n
1
_
k d(u1, uo) + d(un+N+l, ().
D'après le théorème 9.6, la suite (un)n converge vers (;en considérant 1a limite
quand N tend vers +oo dans l'inégalité précédente, on obtient < 62 >
Vn EN
k n
d(un,() � 1
_
k d(u1,u o) .
{6 0) c
. . . d'
1
. d
d 1
.
( )
1
.
es maJorat10ns m 1quent que a vitesse e convergence e a suite Un n vers e pomt
fixe ( est exponentielle (donc très rapide) et d'autant plus rapide que k est proche de O.
< 61 > On rappelle, voir la proposition 5.21 p. 195 du Coui·s de première année, que la somme
des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique (xn)n de raison r vaut :
� n.
. _
•
1-rn.+L
L-i=O x, - xo 1-r '
< 62 > Ce « passage à la limite » se justifie de la manière suivante : considérons pour n E N fixé,
les suites numérique réelles (XN )N et (YN )N de termes généraux XN = d(un, () (la suite
l k N+l
(XN )N est donc constante) et YN = k n - l - k d(ui. uo ) + d(un+N+ l - (). Pour tout
NE N* on a XN � YN. Comme la suite (XN)N converge vers ex = d(un, () et que la
suite (YN)N converge vers ey = 1 �
'
kd(ui.uo) , le théorème d'encadrement (théorème 5.1
p . 179 du Cours de première année) indique que ex� ey.
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PROPOSITION 9.24 Soit (E, d) un espace métrique complet et f une application de E dans E contractante de rapport k E [ü , l[. Pour tout a E E, la
suite (un)n définie par uo = a et Un+i = f(un), qui converge vers l'unique
. fi ;- d f
, :f; ( 6 0)
1M
point xe .,, e , veriJ.e pour tout n E i'l :
Démonstration 12: Pour tous N E N* et n E N, on obtient en utilisant l'inégalité triangulaire :
d(un,() � d(un, Un+1)+d(un +1, Un+2)+ ...
· · · + d(un+N, Un+N�I) + d(un+N+l, ( )
N+n
L d(uj, Uj+1) + d(un+N+l, () .
(16)
j=n
Or, comme f est contractante de rapport k E [ O , 1[, oh a pour tout j EN* :
On montre par récurrence que cela implique que pour tout j E N, on a :
d(uj, Uj+i) � ki d(u1, uo). On déduit alors de l'inégalité (16) que pour tous
NE N* et n EN on a < 61 >
N+n
d(un,() � L kid(u i,u o) +d(un+N+1,()
j=n
1 - k N+l
k n
1
_
k d(u1, uo) + d(un+N+l, ().
D'après le théorème 9.6, la suite (un)n converge vers (;en considérant 1a limite
quand N tend vers +oo dans l'inégalité précédente, on obtient < 62 >
Vn EN
k n
d(un,() � 1
_
k d(u1,u o) .
{6 0) c
. . . d'
1
. d
d 1
.
( )
1
.
es maJorat10ns m 1quent que a vitesse e convergence e a suite Un n vers e pomt
fixe ( est exponentielle (donc très rapide) et d'autant plus rapide que k est proche de O.
< 61 > On rappelle, voir la proposition 5.21 p. 195 du Coui·s de première année, que la somme
des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique (xn)n de raison r vaut :
� n.
. _
•
1-rn.+L
L-i=O x, - xo 1-r '
< 62 > Ce « passage à la limite » se justifie de la manière suivante : considérons pour n E N fixé,
les suites numérique réelles (XN )N et (YN )N de termes généraux XN = d(un, () (la suite
l k N+l
(XN )N est donc constante) et YN = k n - l - k d(ui. uo ) + d(un+N+ l - (). Pour tout
NE N* on a XN � YN. Comme la suite (XN)N converge vers ex = d(un, () et que la
suite (YN)N converge vers ey = 1 �
'
kd(ui.uo) , le théorème d'encadrement (théorème 5.1
p . 179 du Cours de première année) indique que ex� ey.