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Le théorème du point fixe
D'après la proposition 9.16 p. 559, puisque f est une application contractante
sur E, elle est continue sur E. On déduit de la proposition 9.8 que la suite de
terme général f(u n ) converge vers /((). La relation Un +i = f(u n ) pour tout
n EN exprime le fait que les deux suites de terme général f(u n ) et Un + l sont
égales et donc qu'elles ont même limite. Comme la première converge vers f(()
et que la seconde converge vers (, on en déduit que ( = !((), autrement dit
que ( est un point fixe de f.
!:'.'. Montrons à présent que f ne peut pas admettre deux points fixes ( et 17
distincts. Puisque f est une application contractante sur E, il existe un réel
k E (0, 1( tel que : V(x, y) E E 2 d(f(x) , f(y)) � k d(x, y). On a alors,
d((, ry) = d(f(() ,f(ry)) � k d((, ry)
et par conséquent : (k - 1) d((, ry) �O. Puisque k E (0 , 1( on a k - 1 < 0 ce qui
impose que d((, ry) = 0 c'est-à-dire ry = (.
0
Remarques
1. L'hypothèse !-lipschitzienne n'est pas suffisante pour assurer l'existence et
l'unicité du point fixe. L'exemple de la fonction identité qui est lipschitzienne
de rapport 1 pour la distance euclidienne sur � montre qu'il n'y a pas forcement
unicité. L'exemple de la translation f : x E E 1---t x +a (où a E E, a =f OE) qui
est aussi lipschitzienne de rapport 1 montre qu'il n'y a pas toujours existence .
2. La condition d(f(x) , f(y)) < d(x, y) pour tout (x, y) E E 2 n'est pas suffisante
pour assurer l'existence et l'unicité du point fixe. Par exemple, l'application
f : X E � 1---t Vl + x 2 n'a pas de point fixe bien que pour tous réels X et y on
ait l f(x) - f(y)J < l x - yJ.
3. Il se peut que f ne soit pas contractante sur l'espace vectoriel E tout entier
mais seulement sur une partie A c E. Dans ce cas, le théorème s'applique
encore à condition que f(A) c A et que A soit fermé <59 '.
o
Exercice 9.10 Soient (E, IJ · JJ) un espace de Banach et f une application
continue de E dans E. Montrer que s'il existe n E N* tel que l'application
r = f 0 f 0 ... 0 f (n fois) est contractante alors l'application f admet un
point fixe et que celui-ci est unique.
Le théorème du point fixe de Banach indique qu'une application contractante
d'un espace métrique complet dans lui-même admet un unique point fixe et
fournit une suite qui converge vers cet unique point fixe. Cette suite permet
d'un point de vue pratique de calculer une valeur approchée du point fixe
lorsque celui-ci ne peut pas être calculé explicitement. La proposition suivante
nous donne une majoration de l'erreur commise si l'on considère le n-ème terme
de la suite comme valeur approchée du point fixe.
(SB) On établit ce résultat en remarquant que lf'(x)I = lxl(l + x 2 )- 11 2 est borné par 1 et en
utilisant l'inégalité des accroissements finis.
<59> Dans ce cas A est complet car un sous-ensemble fermé d'un espace complet est complet,
voir la proposition 7.19 p. 412.
Le théorème du point fixe
D'après la proposition 9.16 p. 559, puisque f est une application contractante
sur E, elle est continue sur E. On déduit de la proposition 9.8 que la suite de
terme général f(u n ) converge vers /((). La relation Un +i = f(u n ) pour tout
n EN exprime le fait que les deux suites de terme général f(u n ) et Un + l sont
égales et donc qu'elles ont même limite. Comme la première converge vers f(()
et que la seconde converge vers (, on en déduit que ( = !((), autrement dit
que ( est un point fixe de f.
!:'.'. Montrons à présent que f ne peut pas admettre deux points fixes ( et 17
distincts. Puisque f est une application contractante sur E, il existe un réel
k E (0, 1( tel que : V(x, y) E E 2 d(f(x) , f(y)) � k d(x, y). On a alors,
d((, ry) = d(f(() ,f(ry)) � k d((, ry)
et par conséquent : (k - 1) d((, ry) �O. Puisque k E (0 , 1( on a k - 1 < 0 ce qui
impose que d((, ry) = 0 c'est-à-dire ry = (.
0
Remarques
1. L'hypothèse !-lipschitzienne n'est pas suffisante pour assurer l'existence et
l'unicité du point fixe. L'exemple de la fonction identité qui est lipschitzienne
de rapport 1 pour la distance euclidienne sur � montre qu'il n'y a pas forcement
unicité. L'exemple de la translation f : x E E 1---t x +a (où a E E, a =f OE) qui
est aussi lipschitzienne de rapport 1 montre qu'il n'y a pas toujours existence .
2. La condition d(f(x) , f(y)) < d(x, y) pour tout (x, y) E E 2 n'est pas suffisante
pour assurer l'existence et l'unicité du point fixe. Par exemple, l'application
f : X E � 1---t Vl + x 2 n'a pas de point fixe bien que pour tous réels X et y on
ait
3. Il se peut que f ne soit pas contractante sur l'espace vectoriel E tout entier
mais seulement sur une partie A c E. Dans ce cas, le théorème s'applique
encore à condition que f(A) c A et que A soit fermé <59 '.
o
Exercice 9.10 Soient (E, IJ · JJ) un espace de Banach et f une application
continue de E dans E. Montrer que s'il existe n E N* tel que l'application
r = f 0 f 0 ... 0 f (n fois) est contractante alors l'application f admet un
point fixe et que celui-ci est unique.
Le théorème du point fixe de Banach indique qu'une application contractante
d'un espace métrique complet dans lui-même admet un unique point fixe et
fournit une suite qui converge vers cet unique point fixe. Cette suite permet
d'un point de vue pratique de calculer une valeur approchée du point fixe
lorsque celui-ci ne peut pas être calculé explicitement. La proposition suivante
nous donne une majoration de l'erreur commise si l'on considère le n-ème terme
de la suite comme valeur approchée du point fixe.
(SB) On établit ce résultat en remarquant que lf'(x)I = lxl(l + x 2 )- 11 2 est borné par 1 et en
utilisant l'inégalité des accroissements finis.
<59> Dans ce cas A est complet car un sous-ensemble fermé d'un espace complet est complet,
voir la proposition 7.19 p. 412.