Limite et continuité
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Remarque Si f (E) n E = 0 alors f ne peut pas avoir de point fixe dans E. o
THÉORÈME 9.6 (Théorème du point fixe de Banach)
Soit (E, d) un espace métrique complet et f une app lication de E dans E.
Si f est contractante
csa> alors f admet un unique point fixe. De plus, quel que
soit l'élément a: de E, la suite (un)n définie par uo = a: et Un+i = f(un)
converge vers ce point fixe.
Démonstration 12': Soit a: E E; comme E est complet, pour montrer que la
suite ( Un)n définie par { U o = Œ,
Un+i = f(un) Vn EN
converge, il suffit de montrer qu'il s'agit d'une suite de Cauchy dans E. L'application f étant contractante de rapport k E [o,-1 [, un raisonnement par récurrence permet d'établir que pour tout i E N, on a
Soient m et n deux entiers tels que m � n � 0 ; en utilisant la première inégalité
triangulaire et les propriétés des progressions géométriques
<57>
, on obtient :
m-1
m-1
m-n-1
d(um, Un) � L d(ui+1, ui) � L k i d(u1, uo) = d(u1, u o) k n L k1
i=n
i=n
j=O
k n
Puisque k E [O, 1[ , la suite réelle positive de terme général Vn = 1 _ k d(u1, uo)
converge vers 0 ; on a donc
Ve E IR� 3N E N Vn E N
On en déduit que
ce qui signifie que la suite (un)n est une suite de Cauchy dans E. Comme E
est complet, la suite (un)n converge dans E vers un élément (d e E.
(56) •
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•
Voir la défimt1on 9.8 p. 558.
<57> Voir la proposition 5.21 p. 195 du Cours de première année.