584
Le théorème du point fixe
La quatrième assertion du théorème 9.5 est établie et permet de conclure que f
est continue sur Ex E.
2. Dans l'algèbre IK[X] des polynômes à coefficients dans IK, considérons l'application bilinéaire symétrique f : (P, Q) E IK[X] x IK[X] r-+ P x Q E IK[X]
qui à deux polynômes associe leur produit. Munissons IK[X] de la norme I l · I l i
définie pour tout P = E� = o akX k par l l Pl l1 = E� = o / akl · Pour tous polynômes
P = E� = o akX k et Q = E% = o bk X k de IK[X], on a Px Q = E�!Z ckX k où
""k
Ck = L..J e= o ae h-e et
l l f(P, Q)/ 11
p + q
p + q k
l l P x Q/ 11=Li ckl = L1 l:aebk-el
k=O k=O f=O
p + q k
p q
p
q
:::; ; LL l aebk-e/ = LL l ail l bj/ = L / ai/ Ll bj/ = l / P / 11 l/ Qlli .
k=Oi=O
i=O j=O
i=O j=O
La quatrième assertion du théorème 9.5 permet de conclure que f est continue
sur IK[X] x IK[X] lorsque IK[X] est muni de la norme / / · I li.
3. Si on munit IK[X] de la norme I / · 1 / 00 définie pour tout P = E� =O akX k par
l l Pl l00 = maxkE{ O , ... , p l ak/ alors l'application bilinéaire symétrique f qui à deux
polynômes associe leur produit n'est pas continue. Pour l'établir, nous allons
montrer que f n'est pas bornée sur la boule unité fermée dans IK[X] x IK[X]
pour la norme // · 1 1 00 que l'on note B(O, 1) (on a recours à la troisième assertion
du théorème 9.5). Pour n EN, soit Pn = EZ = o x k ; on a l l Pnl l oo = 1 donc Pn
appartient à la boule fermée unité. De plus, f (P, P) = P x P = E�: o ckX k
où Ck = min(k + 1, 2n - k + 1) donc l l f(P, P) / 1 00 = maxkE{0,. . . ,2n} / ck/ = n + 1.
Comme limn-+ + oo l / f(P, P) / 1 00 = +oo, on en déduit que f n'est pas bornée sur
B(O, 1) donc que f n'est pas continue pour la norme l / · 1 1 00 •
9.4 Le théorème du point fixe
Le théorème du point fixe· est un résultat essentiel en mathématiques pour
la résolution d'équations. Il indique qu'une fonction f admet, sous certaines
conditions, un unique point fixe, c'est-à-dire qu'il existe un unique élément (
solution de l'équation f(x) = x. De plus, le théorème du point fixe fournit une
méthode permettant de calculer une approximation de la solution lorsque celleci ne peut être déterminée explicitement. Signalons que la recherche des zéros
d'une fonction numérique g donnée, i.e. la résolution de l'équation g(x) = 0 se
ramène à la recherche des points fixes de la fonction f : x E OC r-+ g(x) -x E !K.
Outre la résolution d'équations d'inconnue réelle ou complexe, le théorème
du point fixe s'applique notamment à l'étude des solutions d'équatioris dites
« fonctionnelles » (l'inconnue est une fonction) dont les équations différentielles.
DÉFINITION 9.10 (Point fixe)
Soit f une application d'un ensemble E dans lui-m�me. On appelle point fixe
de f tout élément x de E tel que f(x) = x.
Le théorème du point fixe
La quatrième assertion du théorème 9.5 est établie et permet de conclure que f
est continue sur Ex E.
2. Dans l'algèbre IK[X] des polynômes à coefficients dans IK, considérons l'application bilinéaire symétrique f : (P, Q) E IK[X] x IK[X] r-+ P x Q E IK[X]
qui à deux polynômes associe leur produit. Munissons IK[X] de la norme I l · I l i
définie pour tout P = E� = o akX k par l l Pl l1 = E� = o / akl · Pour tous polynômes
P = E� = o akX k et Q = E% = o bk X k de IK[X], on a Px Q = E�!Z ckX k où
""k
Ck = L..J e= o ae h-e et
l l f(P, Q)/ 11
p + q
p + q k
l l P x Q/ 11=Li ckl = L1 l:aebk-el
k=O k=O f=O
p + q k
p q
p
q
:::; ; LL l aebk-e/ = LL l ail l bj/ = L / ai/ Ll bj/ = l / P / 11 l/ Qlli .
k=Oi=O
i=O j=O
i=O j=O
La quatrième assertion du théorème 9.5 permet de conclure que f est continue
sur IK[X] x IK[X] lorsque IK[X] est muni de la norme / / · I li.
3. Si on munit IK[X] de la norme I / · 1 / 00 définie pour tout P = E� =O akX k par
l l Pl l00 = maxkE{ O , ... , p l ak/ alors l'application bilinéaire symétrique f qui à deux
polynômes associe leur produit n'est pas continue. Pour l'établir, nous allons
montrer que f n'est pas bornée sur la boule unité fermée dans IK[X] x IK[X]
pour la norme // · 1 1 00 que l'on note B(O, 1) (on a recours à la troisième assertion
du théorème 9.5). Pour n EN, soit Pn = EZ = o x k ; on a l l Pnl l oo = 1 donc Pn
appartient à la boule fermée unité. De plus, f (P, P) = P x P = E�: o ckX k
où Ck = min(k + 1, 2n - k + 1) donc l l f(P, P) / 1 00 = maxkE{0,. . . ,2n} / ck/ = n + 1.
Comme limn-+ + oo l / f(P, P) / 1 00 = +oo, on en déduit que f n'est pas bornée sur
B(O, 1) donc que f n'est pas continue pour la norme l / · 1 1 00 •
9.4 Le théorème du point fixe
Le théorème du point fixe· est un résultat essentiel en mathématiques pour
la résolution d'équations. Il indique qu'une fonction f admet, sous certaines
conditions, un unique point fixe, c'est-à-dire qu'il existe un unique élément (
solution de l'équation f(x) = x. De plus, le théorème du point fixe fournit une
méthode permettant de calculer une approximation de la solution lorsque celleci ne peut être déterminée explicitement. Signalons que la recherche des zéros
d'une fonction numérique g donnée, i.e. la résolution de l'équation g(x) = 0 se
ramène à la recherche des points fixes de la fonction f : x E OC r-+ g(x) -x E !K.
Outre la résolution d'équations d'inconnue réelle ou complexe, le théorème
du point fixe s'applique notamment à l'étude des solutions d'équatioris dites
« fonctionnelles » (l'inconnue est une fonction) dont les équations différentielles.
DÉFINITION 9.10 (Point fixe)
Soit f une application d'un ensemble E dans lui-m�me. On appelle point fixe
de f tout élément x de E tel que f(x) = x.