Limite et continuité
Pour tout k E {1, ... , n}, on a /xk/ � max1�i�n /xi / = l/x/1 00 d'où
n
0 � l/ f(x) l/ F � C l/xl/ oo où C = L l/ f(ek) l/F·
k=l
583
Toute norme sur E étant équivalente < s a > à la norme / / · 1/00, on en déduit par le
théorème d'encadrement que limx-+O E l/ f(x) l/ F = O.
D
On sera attentif au fait que le théorème 9.4 n'est valide que dans le cas où E
un OC-espace vectoriel de dimension finie. Il existe des applications linéaires
qui ne sont pas continues. C'est le cas, voir l'exercice 9.12, de la forme
linéaire f : h E C0((0, 1], IR) 1---t h(l ) qui n'est pas continue sur C0([0, 1], IR)
muni de la norme // · l/ 1 définie par l/ h /1 1 = f
0
1 / h(x) / dx.
Continuité des applications bilinéaires
En complément au théorème 9.3 concernant la continuité des applications linéaires, le théorème suivant permet de caractériser la continuité des applications bilinéaires (voir la définition 8.1 p. 438). La vérification de ces propriétés
reprend le principe de la démonstration du théorème 9.3 et est laissée en exercice.
THÉORÈME 9.5 Soient (E, / / · l/E ) et (F, / / · /IF) deux IR-espaces vectoriels
normés et f une application bilinéaire de E x E dans F. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. l'app lication f est continue sur Ex E;
2. l'application f est continue en (OE, O E) {où Ü E est le vecteur nul dans E);
3. l'app lication f est bornée sur B (OE, 1 ) x B(O E , 1) {où B (OE, 1) désigne la
boule fe rmée de centre 0 E et de rayon unité dans E);
4. il existe un réel positif C tel que pour tout (x, y) E E 2 :
l/ f(x, y) l/ F � C l/xl/E l/YllE·
E x emples
1. Soit E un espace préhilbertien (i.e. un IR-espace vectoriel muni d'un produit
scalaire cp) . La forme bilinéaire symétrique f qui à deux vecteurs x et y de E
associe le produit scalaire cp(x, y) est continue sur E x E lorsque E est muni
de la norme // · // associée au produit scalaire <5 4> . En effet, d'après l'inégalité de
C
(55)
auchy-Schwarz , pour tous x et y dans E on a
/ f(x, y) / = /cp(x, y) / � jip (x, x) cp(y, y) = //xi/ · //y //.
(53) Voir le corollaire 7.1 p. 368.
Pour tout k E {1, ... , n}, on a /xk/ � max1�i�n /xi / = l/x/1 00 d'où
n
0 � l/ f(x) l/ F � C l/xl/ oo où C = L l/ f(ek) l/F·
k=l
583
Toute norme sur E étant équivalente < s a > à la norme / / · 1/00, on en déduit par le
théorème d'encadrement que limx-+O E l/ f(x) l/ F = O.
D
On sera attentif au fait que le théorème 9.4 n'est valide que dans le cas où E
un OC-espace vectoriel de dimension finie. Il existe des applications linéaires
qui ne sont pas continues. C'est le cas, voir l'exercice 9.12, de la forme
linéaire f : h E C0((0, 1], IR) 1---t h(l ) qui n'est pas continue sur C0([0, 1], IR)
muni de la norme // · l/ 1 définie par l/ h /1 1 = f
0
1 / h(x) / dx.
Continuité des applications bilinéaires
En complément au théorème 9.3 concernant la continuité des applications linéaires, le théorème suivant permet de caractériser la continuité des applications bilinéaires (voir la définition 8.1 p. 438). La vérification de ces propriétés
reprend le principe de la démonstration du théorème 9.3 et est laissée en exercice.
THÉORÈME 9.5 Soient (E, / / · l/E ) et (F, / / · /IF) deux IR-espaces vectoriels
normés et f une application bilinéaire de E x E dans F. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. l'app lication f est continue sur Ex E;
2. l'application f est continue en (OE, O E) {où Ü E est le vecteur nul dans E);
3. l'app lication f est bornée sur B (OE, 1 ) x B(O E , 1) {où B (OE, 1) désigne la
boule fe rmée de centre 0 E et de rayon unité dans E);
4. il existe un réel positif C tel que pour tout (x, y) E E 2 :
l/ f(x, y) l/ F � C l/xl/E l/YllE·
E x emples
1. Soit E un espace préhilbertien (i.e. un IR-espace vectoriel muni d'un produit
scalaire cp) . La forme bilinéaire symétrique f qui à deux vecteurs x et y de E
associe le produit scalaire cp(x, y) est continue sur E x E lorsque E est muni
de la norme // · // associée au produit scalaire <5 4> . En effet, d'après l'inégalité de
C
(55)
auchy-Schwarz , pour tous x et y dans E on a
/ f(x, y) / = /cp(x, y) / � jip (x, x) cp(y, y) = //xi/ · //y //.
(53) Voir le corollaire 7.1 p. 368.