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Continuité des applications linéaires
Le vecteur y = x/ f (x) appartient à H car f étant une forme linéaire, on a
f(y) = f (x/ f (x)) = tlx) f(x) = 1 . Par conséquent
l/xl/E
1
d(O E ,H) ,::; ; d(O E, Y) = llYl/E = l f(x) I
,::; ; //If l/l - c
.
Cette inégalité étant vraie pour tout c E �� tel que c < /li/Ill, on en déduit en
considérant la limite à droite lorsque c tend vers 0 que :
.
.
1
1
d(O E, H) = ê�6\ d(O E, H) :::; ; ê� 6\ Ill ! Ill -E: - Ill ! 111 ·
Puisque l'on a simultanément d(O, H) :::; ; 1/ Ill f Ill et d(O, H) � 1/ 111 /Ill , on en
conclut que d(O, H) = 1/ Ill ! Ill·
Considérons la forme linéaire f : (xi, x2, x 3) E IR 3 1-> ax1 + bx 2 + cx 3 E �
où a, b, c désignent trois réels. Dans � 3 , la distance du plan d'équation
ax1 + bx 2 + c x 3 = 1 à l'origine valant <52> 1/V a 2 + b 2 + c 2 , on en déduit que
111/111 = yf a 2 + b 2 + c 2 .
Exercice 9.9 Complétude de .C.c(E)
On désigne par (E, li · l i ) un espace de Banach et par .C.c(E) l'espace vectoriel
des endomorphismes de E qui sont continus, muni de la norme linéaire Il/ /Il .
Soit U n ) n une suite de Cauchy dans (.C.c(E), Ill Ill).
1 - J ustifier que pour tout x E E, la suite U n (x)) n converge vers un élément
f (x) de E. On note f l'application x E E 1-> f(x) E E.
2 - Montrer que f est un endomorphisme de E et qu'il est continu.
3 - Montrer que la suite U n ) n converge vers f dans (.C.c(E), 111 11 1) et conclure.
THÉORÈME 9.4 Soient (F, N F ) un OC-espace vectoriel normé et (E, N E) un
OC-espace vectoriel normé de dimension finie. Toute app lication linéaire de E
dans F est continue.
Démonstration Notons B = { e1, ... , e n } et considérons une application linéaire f de E dans F. Pour montrer que f est continue sur E, d'après le théorème 9.3, il faut et il suffit de montrer que f est continue en O E , c'est-à-dire
montrer que limx__,os l/ f(x) llF = 0 car f(OE) =O p .
Soit x un vecteur de E de composantes (x1, ... ,x n ) dans la base B; on a
x = I:� =l X k e k et f étant linéaire, f(x) = I:� =l X k f(ek ) · On en déduit, en
utilisant les propriétés de la norme, que
n
n
n
11/(x) llF = I l I>k /( e k) l l F :::; ; L l/ xk f(ek ) llF = L l xk l ll f(ek) llF·
k=l
k=l
k=l
<52> Voir p. 386.
Continuité des applications linéaires
Le vecteur y = x/ f (x) appartient à H car f étant une forme linéaire, on a
f(y) = f (x/ f (x)) = tlx) f(x) = 1 . Par conséquent
l/xl/E
1
d(O E ,H) ,::; ; d(O E, Y) = llYl/E = l f(x) I
,::; ; //If l/l - c
.
Cette inégalité étant vraie pour tout c E �� tel que c < /li/Ill, on en déduit en
considérant la limite à droite lorsque c tend vers 0 que :
.
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1
1
d(O E, H) = ê�6\ d(O E, H) :::; ; ê� 6\ Ill ! Ill -E: - Ill ! 111 ·
Puisque l'on a simultanément d(O, H) :::; ; 1/ Ill f Ill et d(O, H) � 1/ 111 /Ill , on en
conclut que d(O, H) = 1/ Ill ! Ill·
Considérons la forme linéaire f : (xi, x2, x 3) E IR 3 1-> ax1 + bx 2 + cx 3 E �
où a, b, c désignent trois réels. Dans � 3 , la distance du plan d'équation
ax1 + bx 2 + c x 3 = 1 à l'origine valant <52> 1/V a 2 + b 2 + c 2 , on en déduit que
111/111 = yf a 2 + b 2 + c 2 .
Exercice 9.9 Complétude de .C.c(E)
On désigne par (E, li · l i ) un espace de Banach et par .C.c(E) l'espace vectoriel
des endomorphismes de E qui sont continus, muni de la norme linéaire Il/ /Il .
Soit U n ) n une suite de Cauchy dans (.C.c(E), Ill Ill).
1 - J ustifier que pour tout x E E, la suite U n (x)) n converge vers un élément
f (x) de E. On note f l'application x E E 1-> f(x) E E.
2 - Montrer que f est un endomorphisme de E et qu'il est continu.
3 - Montrer que la suite U n ) n converge vers f dans (.C.c(E), 111 11 1) et conclure.
THÉORÈME 9.4 Soient (F, N F ) un OC-espace vectoriel normé et (E, N E) un
OC-espace vectoriel normé de dimension finie. Toute app lication linéaire de E
dans F est continue.
Démonstration Notons B = { e1, ... , e n } et considérons une application linéaire f de E dans F. Pour montrer que f est continue sur E, d'après le théorème 9.3, il faut et il suffit de montrer que f est continue en O E , c'est-à-dire
montrer que limx__,os l/ f(x) llF = 0 car f(OE) =O p .
Soit x un vecteur de E de composantes (x1, ... ,x n ) dans la base B; on a
x = I:� =l X k e k et f étant linéaire, f(x) = I:� =l X k f(ek ) · On en déduit, en
utilisant les propriétés de la norme, que
n
n
n
11/(x) llF = I l I>k /( e k) l l F :::; ; L l/ xk f(ek ) llF = L l xk l ll f(ek) llF·
k=l
k=l
k=l
<52> Voir p. 386.