Limite et continuité
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Noyau d'une application linéaire continue
Si f est une application linéaire continue d'un espace vectoriel normé (E, Il · llE )
dans un espace vectoriel normé (F, 11 · llF ) alors son noyau est un sous-espace vectoriel fermé de E car par définition Ker(!) = { x E E ; f ( x ) = 0 F } est l'image
réciproque par f de {O F } qui est fermé cso> dans F, voir la proposition 9.17.
Dans la cas où F =IR., on peut montrer que l'on a une équivalence : une forme
linéaire sur E est continue si et seulement si son noyau est fermé dans E.
Exercice 9.8 Soit (E, Il · llE) un OC-espace vectoriel normé et p un endomorphisme de E, continu sur E et vérifiant pop= p (p est un projecteur) .
Montrer que le noyau et l'image de p sont des fermés de E.
Interprétation géométrique de 111 ! 111
Soit f une forme linéaire (non nulle) continue sur un OC-espace vectoriel normé
(E, /l · llE ) ; le réel 111 !111 correspond à l'inverse de la distance de l'origine 0 E E à
l'hyperplan d'équation f(x) = 1 pour la distance subordonnée à la norme 1/ · l/E·
Pour établir cette propriété, notons H = { x E E ; f(x) = 1} ; d'après la
définition 7.14 p. 386, la distance de 0 E E à H est :
d(O, H) = inf { ll y l/E ; y E H} .
Commençons par remarquer que pour tout y EH on a f(y) = 1 et par conséquent que
1
l f(y)I
l f(x) I
l/Yl/E
= llYllE
:::;
�� � llxl/E
= Ill ! Ill ·
x#O
On en déduit que pour tout y E Hon a l/YllE ? 1/ Ill Jiii et par conséquent que
que d(O, H) ? 1/ Ill Jiii. Comme
111 ! 111 = sup l f(x) l / llxllE = sup { l f(x) l/llxllE ; x E E x =1- O},
xEE
x#O
on en déduit des propriétés de la borne supérieure cs i J que pour tout t: E JR.+ , il
existe x E E \ {O} tel que
l f(x) I
Ill ! 111 -t: :::; l/xl/E
:::; Ill ! Ill ·
Puisque f n'est pas la forme linéaire nulle, on a l/1 ! 111 =1- 0; on en déduit que
pour tout réel t: strictement positif tel que Ill ! Ill -t: > 0, il existe x E E \ {O}
avec f (x) =1- 0 et
1
llxllE
1
îiî7iîî
:::; I f (x) I
:::; Ill ! Ill -t:
.
(5 o ) Cette affirmation a été établie p. 372.
<5 1 > Voir la proposition 3.2 p. 95 du Cours de première année.