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Continuité des applications linéaires
Exemples
1. Nous avons établi que pour n E N* fixé, l'application trace qui à une matrice
de M n (JK) associe la somme de ses éléments diagonaux, est une forme linéaire
continue et que pour tout A = (aij )i,j on a l 'I'r(A) I � ,/iï ll A ll s· On en déduit
que si M n (JK) est muni de la norme de Schur, alors
ITr(A)I
lllTrlll = sup - ll A ll � v'n .
AEMn(IK)
s
A;éO
Par ailleurs, la trace de la matrice identité 1 valant n et sa norme de Schur
valant ,/iï, on a
v'n = _I Ti
ll
_
I
·(
ll
I _ ) I
�
sup ITr(A) I = lll TI·lll
s
AEMn(IK) ll A ll s
'
A;éO
et on en conclut que lll TI·lll = Vn·
2. Notons E l'espace vectoriel c0( [a, b], R.) et considérons l'endomorphisme
de E qui à une application associe son intégrale indéfinie. On a établi p. 576
que est une application continue de (E, Il · lloo ) dans (E, Il · lloo ) et que pour
tout f E E, on a ll (f) lloo � (b - a) ll f lloo· On en déduit que
lll lll = sup ll (f) lloo
�
(b - a) .
f EE ll f lloo
ff- 0
Soit g l'application constante égale à 1 sur [a, b]; on a ll g ll00 = 1 et
ll (g) lloo = sup 1 r 1 dx l = sup l x - a l = b - a.
xE[a,b] J a
xE[a,b]
On en déduit que
b - a= ll (g) lloo
�
sup ll (f) lloo = lll lll
llg lloo
f EE Il / lloo
ff - 0
et par conséquent que lll lll = b - a pour le choix de la norme de la convergence
uniforme sur E.
Exercice 9. 7 Soit l'endomorphisme de C0([a, b] , R.) qui à une application f de c0([a, b] , R.) associe son intégrale indéfinie. On munit l'espace vectoriel c0 ([a, b] , R.) de la norme de la convergence en moyenne
f E C0([a, b] , R.) � J: l f(x) I dx, notée Il · Il i ·
1 - Montrer que est continue.
2 - Pour n E N fixé, on note f n : x E (a, b] � n 2 e n(a - x) .
a) Calculer ll f n ll i et ll (f n ) ll1·
b) En déduire que la norme linéaire de vaut b - a pour le choix de la
norme de la convergence en moyenne sur C0( [a, b] , R.).