Limite et continuité
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1> Pour tout (f, g) E .Cc(E, F) 2 et pour tout x E E avec x f. O e , on a
Il ( ! + g)(x) llF � ll f(x) llF + ll g(x) llF· Par conséquent,
Il ( ! + g)(x) llF � ll f(x) llF + ll g(x) llF � sup ll f(x') llF + sup ll g(x') llF
llxll e
llxll e
llxll e
x'Ee llx' ll e
x' Ee llx'll e
x';éO
x1;60
= N(f) + N(g) .
On en déduit que :
N(f + g) = sup Il ( ! + g)(x) llF � N(f) + N(g) .
xEe
llxll e
x;60
On en conclut que l'application N est bien une norme sur .Cc(E, F) .
0
Remarques
1. Pour tout x E Eon a 111 ! 111 = sup ll f(x') llF � ll f(x) llF et par conséquent :
x'Ee llx'll e lf llxll e
x';60
ll f(x) llF � Ill ! Ill llxll e2. En exploitant les propriétés de la norme et le fait que f est une application
linéaire, on obtient :
111 ! 111 = su p
ll
�
(
�?
llF = sup ll f (x/ llxll e ) llF = sup ll f(x') llF·
xEe X e
xEe
�Ee
x;60
x;60
llx 111=1
Par ailleurs, comme { x E B (O, 1) ; x f. O} c { x E E ; x f. O} et que pour
x E B(O, 1) on a 1/ llxll e � 1 et par conséquent,
111 ! 111 = sup ll f(x) llF � sup ll f(x) llp � sup ll f(x) llF = sup ll f(x) llF ·
xEe llxll e
xEB(0, 1) llxll e
xEB(0, 1)
xEB(0, 1)
x;60.
x;60
x;60
De plus, comme pour tout x E E avec x f. O e , le vecteur y = x/ llxll e est de
norme 1, on a y E B(O e , 1) et
ll
�
(
� ?l lF = ll f(x/ llxll e ) llF = ll f(y) llF � s � p ll f(x') llF
X e
x'EB(0, 1)
ce qui entraîne que sup ll f(x) llF � sup ll f(x) llF et finalement que
xEe llxll e
xEB(0, 1)
x;60
111 !111 = sup ll f (x) llF· On a donc
xEB(0, 1)
111 ! 111 = sup ll
�
(
�?
llF = �l p ll f(x) llF = sup ll f(x') llF
xEe X e
xEB(O 1)
x' Ee
xjéO
'
llx'll=l
3. L'endomorphisme identité de (E, Il · li e ) dans (E, Il · li e ) est de norme 1
puisque pour tout x E Eon a ll id(x) ll e = l lxll eo