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Continuité des applications linéaires
Démonstration 12: L'ensemble .Cc(E, F) des applications linéaires de E dans F
continues est non vide car l'application nulle x E E � O F E F est une application linéaire continue. Pour montrer que l'ensemble .Cc(E, F) est un sous-espace
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vectoriel de .C(E, F), il faut montrer que :
V(a,(3) E OC 2 V(f, g) E .Cc(E,F)
a · f + (3 · g E .Cc ( E, F).
Soient (a, (3) E OC 2 et (!, g) E .Cc(E, F) ; l'application h = a · f + (3 · g est
une application linéaire car .C(E, F) est un espace vectoriel. Il s'agit donc de
montrer que cette application linéaire h est continue sur E. Par hypothèse, f
et g sont continues sur E donc d'après l'assertion (4) du théorème 9.3,
- il existe C1 E JR + tel que pour tout x E E: ll f(x) llF � C1 llxllE ;
- il existe C 2 E JR + tel que pour tout x E E: llg(x ) llF � C 2 llxllE·
On en déduit que pour tout x E E,
ll h( x) llF = l ai il f(x) llF + l f3i llg (x) llF � ( l a l C1 + i f3I C 2 ) llxllE ·
On a ainsi montré qu'il existe C E JR + (prendre C = i a: I C1 + l f3I C 2 ) tel que
pour tout x E E : ll h( x) llF � C llxllE· D'après le théorème 9 .3 ceci implique
que h est continue sur E.
12: Montrons que l'application N : f E .Cc(E, F) t---+ S UP x EE ll{iL x 1
1l llF est une
x#O
E
norme sur .Cc(E, F).
C> Notons tout d'abord que cette application est bien définie car d'après le
théorème 9.3, pour toute application f E .Cc(E, F) l'ensemble
U =
{ ll f(x) llF ; x E E X =J 0 }
llxllE
est borné ; de plus, cette application est à valeurs positives car les éléments de
l'ensemble U sont des réels positifs.
Vérifions que l'application N satisfait aux quatre conditions de la définition 7 .3.
1> Les propriétés de la borne supérieure impliquent que N(f) = 0 si et seulement
si pour tout x E E avec x =J O E on a ll f(x) llF = O. Or ll f(x) llF = 0 équivaut
à f(x) = O F ; comme par ailleurs f(OE) = O F , on en déduit que N(f) = 0
si et seulement si pour tout x E E on a f (x) = O F , autrement dit si f est
l'application nulle.
1> Soient f E .Cc(E, F) et À E OC; pour tout x E E avec x =J O E on a
11>. f(x) llF - l >. I
ll f(x) llF
llxll E
-
llxll E .
Deux fonctions égales sur un ensemble ayant même borne supérieure sur cet
ensemble, on en déduit que
N( >. f) = sup 11 >. f(x) llF
= l >. I sup ll f(x) llF
= l >. I N(f).
xEE llxllE
x EE llxllE
x#O
x#O
< 49> Voir la définition 8.5 p. 306 du Cours de première année.