Limite et continuité
577
E x ercice 9.6
1 - Montrer que l'application f qui à un polynôme P de JK[X] associe son
polynôme dérivé P ' est une application linéaire.
2 - Montrer que l'application N qui à un polynôme p = L�= O ak x k
de JK[ X] associe le réel N(P) = l ao l + maxkE { l , ... ,n } l k ak l est une norme
sur JK[X].
3 - En utilisant le théorème 9.3, montrer que f est une application continue
de JK[X] muni de la norme N dans JK[X] muni de la norme Il · 1100 définie
pour tout P = L�= O ak X k par ll P lloo = maxke { o, ... ,n } l ak l , voir p. 350.
Remarque Pour montrer qu'une application linéaire f de (E, Il · llE ) dans
(F, Il · llF ) n'est pas continue, il suffit de montrer que l'assertion suivante, qui
constitue la négation de la quatrième assertion du théorème 9.3, est vraie :
vc E � + 3 x E E ll f(x) llF > c llxll E ·
L'exemple suivant illustre la remarque.
<>
E x emple L'exercice 9.6 a permis d'établir que l'application f qui à un polynôme P de JK[X] associe son polynôme dérivé P ' est une application linéaire
continue de (JK(X), N) dans (JK(X), li · 1100). Montrons que f n'est pas continue
de (JK(X), 1 1 · lloo ) dans (JK(X), 1 1 · lloo) · Soient C un réel positif et n = E(C) + 1;
le polynôme P = x
n
est tel que ll P ll 00 = 1 et P ' = n x n- l de sorte que
llJ (P) lloo = ll P' lloo = n = E(C) + 1 > C = C ll P ll oo ·
L'application f n'est donc pas une application linéaire continue de JK( X) dans
iK[ X] lorsque l'espace vectoriel de départ et d'arrivée sont munis de la norme
Il · 1100 car pour tout réel C positif, le polynôme P = XE ( C ) +l est tel que
llJ (P) lloo > C ll P lloo·
La proposition suivante précise la structure de l'ensemble des applications linéaires continues.
PROPOSITION 9.23 Soient (E, 11 · llE ) et (F, 11 · llF ) deux OC-espaces vectoriels
normés. L'ensemble Cc (E, F) des applications linéaires de E dans F qui sont
continues est un sous-espace vectoriel de C(E, F) . De plus, l'application
f E Cc (E, F) � sup ll f(x) llF
xEE llxllE
x#O
est une norme sur Cc (E, F) appelée norme linéaire et notée 111 · Ill ·
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E x ercice 9.6
1 - Montrer que l'application f qui à un polynôme P de JK[X] associe son
polynôme dérivé P ' est une application linéaire.
2 - Montrer que l'application N qui à un polynôme p = L�= O ak x k
de JK[ X] associe le réel N(P) = l ao l + maxkE { l , ... ,n } l k ak l est une norme
sur JK[X].
3 - En utilisant le théorème 9.3, montrer que f est une application continue
de JK[X] muni de la norme N dans JK[X] muni de la norme Il · 1100 définie
pour tout P = L�= O ak X k par ll P lloo = maxke { o, ... ,n } l ak l , voir p. 350.
Remarque Pour montrer qu'une application linéaire f de (E, Il · llE ) dans
(F, Il · llF ) n'est pas continue, il suffit de montrer que l'assertion suivante, qui
constitue la négation de la quatrième assertion du théorème 9.3, est vraie :
vc E � + 3 x E E ll f(x) llF > c llxll E ·
L'exemple suivant illustre la remarque.
<>
E x emple L'exercice 9.6 a permis d'établir que l'application f qui à un polynôme P de JK[X] associe son polynôme dérivé P ' est une application linéaire
continue de (JK(X), N) dans (JK(X), li · 1100). Montrons que f n'est pas continue
de (JK(X), 1 1 · lloo ) dans (JK(X), 1 1 · lloo) · Soient C un réel positif et n = E(C) + 1;
le polynôme P = x
n
est tel que ll P ll 00 = 1 et P ' = n x n- l de sorte que
llJ (P) lloo = ll P' lloo = n = E(C) + 1 > C = C ll P ll oo ·
L'application f n'est donc pas une application linéaire continue de JK( X) dans
iK[ X] lorsque l'espace vectoriel de départ et d'arrivée sont munis de la norme
Il · 1100 car pour tout réel C positif, le polynôme P = XE ( C ) +l est tel que
llJ (P) lloo > C ll P lloo·
La proposition suivante précise la structure de l'ensemble des applications linéaires continues.
PROPOSITION 9.23 Soient (E, 11 · llE ) et (F, 11 · llF ) deux OC-espaces vectoriels
normés. L'ensemble Cc (E, F) des applications linéaires de E dans F qui sont
continues est un sous-espace vectoriel de C(E, F) . De plus, l'application
f E Cc (E, F) � sup ll f(x) llF
xEE llxllE
x#O
est une norme sur Cc (E, F) appelée norme linéaire et notée 111 · Ill ·