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Continuité des applications linéaires
Exemples
1. Pour n E N* fixé, montrons que l'application trace, qui à une matrice A
de Mn (OC) associe la somme de ses éléments diagonaux, est une forme linéaire
continue. Munissons Mn (OC) de la norme de Schur < 47l ; en utilisant l'inégalité
de Cauchy-Schwarz, on obtient pour tout A = (aij ) (i ,
j) E { l ,. .. ,n }2 :
1
I TI· (A)I
l tai i l � tl aii l � Vn (t1 aii 1
2 )
2
<; fa ( t, t l ••;I ' r � fa ll A ll , .
D'après l'assertion ( 4) du théorème 9.3, on en conclut que l'application trace
est une application linéaire continue de (Mn (OC) , 1 1 · Il s) dans (IR, 1 · 1 ) .
2. Considérons l'application qui à une application f continue sur [a, b] à
valeurs réelles associe sont intégrale indéfinie F : x E [a, b] .... ., J: f (t) dt. Cette
application est linéaire èar pour tous fi , f2 E C0([a, b] , IR), pour tout .À 1 , .À2 E IR
et pour tout x E [a, b] on a
(Ai f 1 + A2 f2) (x) = 1
x (Ai f 1 + A 2 f 2 )(t) dt
= .À 1 1
x fi (t) dt + À2 1
x
f2(t) dt = .À 1 ( f 1 )(x) + A2 (f2)(x) .
Par ailleurs, si f est continue sur [a, b] alors F est également continue < 4 8)
sur [a, b]; est donc un endomorphisme de C0([a, b] , IR). Munissons C0 ( [a, b], IR)
de la norme infinie définie pour f E C0([a, bj , IR) par ll f li oo = SllP x E[a,b] l f(x) j ,
et montrons que est une application continue de (C0( [a, b] , IR), Il · 1100) dans
(C0 ( [a, b] , IR), Il · 1100) . Pour tout x E [a, b], on a
l (f)(x) I = 1 t J(t) dt l � t l f(t) I dt� t ( sup l f(s)I) dt= (b-a) ll ! ll oo·
la
la
la sE[a,b]
On en déduit que ll (f) lloo = supxE( a, b] l (f)(x) I � (b - a) ll f ll00 , ce qui d'après
l'assertion (4) du théorème 9.3 permet d'affirmer que est continue.
<47l Voir la proposition 7.5 p. 365. Pour tout A = (a;j) ( i , j )E{ l , ... , n } 2• la norme de Schur
de A est llAll s = /'i:,f= 1 L,'J=1 la;jl2. Rappelons que l'espace vectoriel Mn(IK) étant de
dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes ; on choisit celle qui semble la plus
appropriée au calcul.
<45> voir la proposition 18.7 p. 847 du Cours de première année.
Continuité des applications linéaires
Exemples
1. Pour n E N* fixé, montrons que l'application trace, qui à une matrice A
de Mn (OC) associe la somme de ses éléments diagonaux, est une forme linéaire
continue. Munissons Mn (OC) de la norme de Schur < 47l ; en utilisant l'inégalité
de Cauchy-Schwarz, on obtient pour tout A = (aij ) (i ,
j) E { l ,. .. ,n }2 :
1
I TI· (A)I
l tai i l � tl aii l � Vn (t1 aii 1
2 )
2
<; fa ( t, t l ••;I ' r � fa ll A ll , .
D'après l'assertion ( 4) du théorème 9.3, on en conclut que l'application trace
est une application linéaire continue de (Mn (OC) , 1 1 · Il s) dans (IR, 1 · 1 ) .
2. Considérons l'application qui à une application f continue sur [a, b] à
valeurs réelles associe sont intégrale indéfinie F : x E [a, b] .... ., J: f (t) dt. Cette
application est linéaire èar pour tous fi , f2 E C0([a, b] , IR), pour tout .À 1 , .À2 E IR
et pour tout x E [a, b] on a
(Ai f 1 + A2 f2) (x) = 1
x (Ai f 1 + A 2 f 2 )(t) dt
= .À 1 1
x fi (t) dt + À2 1
x
f2(t) dt = .À 1 ( f 1 )(x) + A2 (f2)(x) .
Par ailleurs, si f est continue sur [a, b] alors F est également continue < 4 8)
sur [a, b]; est donc un endomorphisme de C0([a, b] , IR). Munissons C0 ( [a, b], IR)
de la norme infinie définie pour f E C0([a, bj , IR) par ll f li oo = SllP x E[a,b] l f(x) j ,
et montrons que est une application continue de (C0( [a, b] , IR), Il · 1100) dans
(C0 ( [a, b] , IR), Il · 1100) . Pour tout x E [a, b], on a
l (f)(x) I = 1 t J(t) dt l � t l f(t) I dt� t ( sup l f(s)I) dt= (b-a) ll ! ll oo·
la
la
la sE[a,b]
On en déduit que ll (f) lloo = supxE( a, b] l (f)(x) I � (b - a) ll f ll00 , ce qui d'après
l'assertion (4) du théorème 9.3 permet d'affirmer que est continue.
<47l Voir la proposition 7.5 p. 365. Pour tout A = (a;j) ( i , j )E{ l , ... , n } 2• la norme de Schur
de A est llAll s = /'i:,f= 1 L,'J=1 la;jl2. Rappelons que l'espace vectoriel Mn(IK) étant de
dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes ; on choisit celle qui semble la plus
appropriée au calcul.
<45> voir la proposition 18.7 p. 847 du Cours de première année.