Li mite et continuité
575
!'.:: Supposons maintenant que f est bornée par !d E JR + sur la boule fermée
B ( OE, 1) et montrons qu'il existe un réel positif C tel que pour tout x E E
on ait ll f (x) llF :( C llx ll E· Remarquons que si x = OE alors la relation est
vraie puisque f étant linéaire f ( OE) = Op. Considérons un élément x de E
qui est non nul ; l'élément x ' = x/ llxll E appartient à la boule fermée B ( OE, 1)
puisque llx'll E = 1. Par hypothèse, on a llf (x') llF :( M, voir l'assertion (15) .
Or, puisque f est linéaire,
llf (x') llF =
l i 11x �I E
f (x)
t
= llx � I E
llf (x) llF·
On en déduit que ll f (x) llF :( MllxllE · La quatrième assertion du théorème 9 .3
est démontrée.
!'.:: Supposons qu'il existe un réel positif C tel que pour tout x E E on ait
ll f (x) llF :( C ll xllE et montrons que f est continue sur E. Soit (x' , x11) E E 2 ;
en utilisant la linéarité de f et l'hypothèse, on obtient :
ll f (x') - f (x") llF = llf (x' - x ") l/F :( C l/x' - x"llE ·
Cette relation indique que f est lipschitzienne sur E de rapport C. La proposition 9.16 permet de conclure que f est uniformément continue sur E et par
conséquent continue sur E.
0
On sera attentif au fait que les différentes manières d'établir qu'une application linéaire est continue données par le théorème 9.3 ne sont valables que
pour les applications qui sont effectivement linéaires. La démonstration du
théorème 9.3 permet de bien comprendre l'importance du caractère linéaire
de l'application pour que les équivalences indiquées soient vraies. Il ne saurait être question d'utiliser la même approche pour montrer la continuité
d'une application qui n'est pas linéaire.
Remarque Dans l'énoncé du théorème 9.3, on peut remplacer dans l'assertion (2) l'élément OE par n'importe quel autre élément de E. Dans l'assertion (3) , on peut remplacer la boule fermée de rayon 1 par n'importe quelle
autre boule de rayon non nul.
o
En complément au théorème 9.3, l'exercice suivant permet d'établir d'autres
propriétés des applications linéaires.
Exercice 9.5 Soient (E, Il · llE) et (F, Il · llF) deux K-espaces vectoriels
normés et f une application linéaire de E dans F. Montrer que les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. f est continue sur E ;
2. f est lipschitzienne sur E;
3. f est uniformément continue sur E.
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!'.:: Supposons maintenant que f est bornée par !d E JR + sur la boule fermée
B ( OE, 1) et montrons qu'il existe un réel positif C tel que pour tout x E E
on ait ll f (x) llF :( C llx ll E· Remarquons que si x = OE alors la relation est
vraie puisque f étant linéaire f ( OE) = Op. Considérons un élément x de E
qui est non nul ; l'élément x ' = x/ llxll E appartient à la boule fermée B ( OE, 1)
puisque llx'll E = 1. Par hypothèse, on a llf (x') llF :( M, voir l'assertion (15) .
Or, puisque f est linéaire,
llf (x') llF =
l i 11x �I E
f (x)
t
= llx � I E
llf (x) llF·
On en déduit que ll f (x) llF :( MllxllE · La quatrième assertion du théorème 9 .3
est démontrée.
!'.:: Supposons qu'il existe un réel positif C tel que pour tout x E E on ait
ll f (x) llF :( C ll xllE et montrons que f est continue sur E. Soit (x' , x11) E E 2 ;
en utilisant la linéarité de f et l'hypothèse, on obtient :
ll f (x') - f (x") llF = llf (x' - x ") l/F :( C l/x' - x"llE ·
Cette relation indique que f est lipschitzienne sur E de rapport C. La proposition 9.16 permet de conclure que f est uniformément continue sur E et par
conséquent continue sur E.
0
On sera attentif au fait que les différentes manières d'établir qu'une application linéaire est continue données par le théorème 9.3 ne sont valables que
pour les applications qui sont effectivement linéaires. La démonstration du
théorème 9.3 permet de bien comprendre l'importance du caractère linéaire
de l'application pour que les équivalences indiquées soient vraies. Il ne saurait être question d'utiliser la même approche pour montrer la continuité
d'une application qui n'est pas linéaire.
Remarque Dans l'énoncé du théorème 9.3, on peut remplacer dans l'assertion (2) l'élément OE par n'importe quel autre élément de E. Dans l'assertion (3) , on peut remplacer la boule fermée de rayon 1 par n'importe quelle
autre boule de rayon non nul.
o
En complément au théorème 9.3, l'exercice suivant permet d'établir d'autres
propriétés des applications linéaires.
Exercice 9.5 Soient (E, Il · llE) et (F, Il · llF) deux K-espaces vectoriels
normés et f une application linéaire de E dans F. Montrer que les assertions
suivantes sont équivalentes :
1. f est continue sur E ;
2. f est lipschitzienne sur E;
3. f est uniformément continue sur E.