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Continuité des applications linéaires
THÉORÈME 9.3 Soient (E, Il · li e) et (F, Il · llF ) deux OC-espaces vectoriels
normés et f une application linéaire de E dans F. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
1. l'application f est continue sur E;
2. l'application f est continue en 0 E (0 E désignant le vecteur nul dans E) ;
3. l'application f est bornée sur la boule fermée B(Oe, 1) ;
4. il existe un réel positif C tel que pour tout x E E : ll f(x) llF :::; ; C ll x ll e.
Démonstration Comme une application est continue sur un ensemble si elle
est continue en chaque point de l'ensemble, l'assertion (1) implique l'assertion (2). Nous allons montrer que l'assertion (2) implique l'assertion (3) et que
l'assertion (3) implique l'assertion (4). Par transitivité de la relation d'implication l'assertion (1) impliquera l'assertion (3) et l'assertion (4), et l'assertion (2)
impliquera l'assertion (4). Pour établir l'équivalence des quatre assertions, il
suffira ensuite de montrer que l'assertion (4) implique l'assertion (1). La transitivité de la relation d'implication établira l'équivalence entre toutes les relations.
� Supposons que f est continue en Oe; puisque f est linéaire, on a f(Oe) = OF
et l'hypothèse de continuité de f se traduit par
'Vt: E IR� 3ry E IR� Vx E E ( ll x ll e :::; ; 1J =? ll f(x) llF :::; ; t: ).
On en déduit qu'il existe 17 E JR+ tel que
Vx E E ( ll x ll e :::; ; 7]1 ===? ll f(x) llF :::; ; 1).
(14)
Montrer que f est bornée sur la boule fermée B(Oe, 1) = {x E E; ll x ll e :::; ; 1}
.
. .
��
revient a montrer que
. 3M E JR + Vx ' E B(Oe, 1) ll f(x ' ) llF :::; ; M.
(15)
Soit x ' un élément de B(Oe, 1) ; on a ll 7J1x' ll e = 7J1 ll x ' ll e :::; ; 7]1 . On déduit de
l'assertion (14) que ll f(7J1x') llF :::; ; 1. Comme f est une application linéaire,
ll f(7J1 x ' ) llF = ll 7J1 f(x ' ) llF = ' 7711 ll f(x ' ) llF = 7]1 ll f(x ' ) llF ·
On en déduit que ll f(x ') llF :::; ; 1/ry1. L'assertion (15) est démontrée (il suffit de
prendre M = l/7J1).
< 4 6 > Voir la définition 9.4 p. 546.
Continuité des applications linéaires
THÉORÈME 9.3 Soient (E, Il · li e) et (F, Il · llF ) deux OC-espaces vectoriels
normés et f une application linéaire de E dans F. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
1. l'application f est continue sur E;
2. l'application f est continue en 0 E (0 E désignant le vecteur nul dans E) ;
3. l'application f est bornée sur la boule fermée B(Oe, 1) ;
4. il existe un réel positif C tel que pour tout x E E : ll f(x) llF :::; ; C ll x ll e.
Démonstration Comme une application est continue sur un ensemble si elle
est continue en chaque point de l'ensemble, l'assertion (1) implique l'assertion (2). Nous allons montrer que l'assertion (2) implique l'assertion (3) et que
l'assertion (3) implique l'assertion (4). Par transitivité de la relation d'implication l'assertion (1) impliquera l'assertion (3) et l'assertion (4), et l'assertion (2)
impliquera l'assertion (4). Pour établir l'équivalence des quatre assertions, il
suffira ensuite de montrer que l'assertion (4) implique l'assertion (1). La transitivité de la relation d'implication établira l'équivalence entre toutes les relations.
� Supposons que f est continue en Oe; puisque f est linéaire, on a f(Oe) = OF
et l'hypothèse de continuité de f se traduit par
'Vt: E IR� 3ry E IR� Vx E E ( ll x ll e :::; ; 1J =? ll f(x) llF :::; ; t: ).
On en déduit qu'il existe 17 E JR+ tel que
Vx E E ( ll x ll e :::; ; 7]1 ===? ll f(x) llF :::; ; 1).
(14)
Montrer que f est bornée sur la boule fermée B(Oe, 1) = {x E E; ll x ll e :::; ; 1}
.
. .
��
revient a montrer que
. 3M E JR + Vx ' E B(Oe, 1) ll f(x ' ) llF :::; ; M.
(15)
Soit x ' un élément de B(Oe, 1) ; on a ll 7J1x' ll e = 7J1 ll x ' ll e :::; ; 7]1 . On déduit de
l'assertion (14) que ll f(7J1x') llF :::; ; 1. Comme f est une application linéaire,
ll f(7J1 x ' ) llF = ll 7J1 f(x ' ) llF = ' 7711 ll f(x ' ) llF = 7]1 ll f(x ' ) llF ·
On en déduit que ll f(x ') llF :::; ; 1/ry1. L'assertion (15) est démontrée (il suffit de
prendre M = l/7J1).
< 4 6 > Voir la définition 9.4 p. 546.