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Séries absolument convergentes
terme général v'iUJ tend aussi vers f.. La règle de Cauchy s'applique donc dans
tous les cas où la règle de D'Alembert s'applique. Toutefois selon l'expression
du terme général de la série, la règle de D'Alembert peut être plus simple
à appliquer que la règle de Cauchy (ce qui justifie l'énoncé des deux règles).
Par ailleurs, il résulte de cette propriété que si les limites correspondant aux
règles de Cauchy et de D'Alembert existent, elles sont nécessairement égales.
En particulier, si l'on a obtenu pour limite 1 avec l'une des deux règles (et
que l'on ne peut donc pas conclure), il est inutile d'essayer d'utiliser la seconde
règle : elle ne permettra pas, elle non plus, de conclure.
<>
Exemple Intéressons-nous à la série de terme général Un = n( - l)n/2 n . Pour
tout n E N*, on a
1
2n(n + 1)
!n(n + 1)
si n est pair
si n est impair
La suite de terme général lun +i /unl n' a pas de limite. La règle de D'Alembert
ne s'applique donc pas à cette série. Intéressons-nous à présent à la règle de
Cauchy. Pour tout n E N* on a
si n est pair
si n est impair
Comme limn---> +oo y'n = 1 et limn---> +oo \(f]n = 1, la suite de terme géné( 4 1 )
1
ral � converge vers 2. La règle de Cauchy permet de conclure que la
série L n Un converge absolument.
Majoration du reste d'une série dont la convergence absolue a été établie par
la règle de D'Alembert
Soit L n Un une série numérique à termes tous non nuls, convergente. Supposons
que f, = limn---> +oo 1 u:: 1 1 < 1. Dans ce cas, pour tout r E]f., 1[, il existe N E N
tel que pour tout entier k �Non ait <42> 1
u k +i I ::::; r, i.e. lu k+i l ::::; r lu k l · On en
U k
déduit pour tout n EN avec n �Net pour tout k E N avec k � n la relation
lu k l ::::; r k - n lunl· On obtient ainsi pour tout n EN avec n � N, la majoration
<4 1 > Voir la proposition 5.19 p. 189 du Cours de première année : une condition nécessaire et
suffisante pour qu'une suite converge vers le réel e est que la suite extraite correspondant
aux termes d'indices pairs et la suite extraite correspondant au termes d'indices impairs
convergent toutes les deux vers e.
<42> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année ; on prend é = T - e.
Séries absolument convergentes
terme général v'iUJ tend aussi vers f.. La règle de Cauchy s'applique donc dans
tous les cas où la règle de D'Alembert s'applique. Toutefois selon l'expression
du terme général de la série, la règle de D'Alembert peut être plus simple
à appliquer que la règle de Cauchy (ce qui justifie l'énoncé des deux règles).
Par ailleurs, il résulte de cette propriété que si les limites correspondant aux
règles de Cauchy et de D'Alembert existent, elles sont nécessairement égales.
En particulier, si l'on a obtenu pour limite 1 avec l'une des deux règles (et
que l'on ne peut donc pas conclure), il est inutile d'essayer d'utiliser la seconde
règle : elle ne permettra pas, elle non plus, de conclure.
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Exemple Intéressons-nous à la série de terme général Un = n( - l)n/2 n . Pour
tout n E N*, on a
1
2n(n + 1)
!n(n + 1)
si n est pair
si n est impair
La suite de terme général lun +i /unl n' a pas de limite. La règle de D'Alembert
ne s'applique donc pas à cette série. Intéressons-nous à présent à la règle de
Cauchy. Pour tout n E N* on a
si n est pair
si n est impair
Comme limn---> +oo y'n = 1 et limn---> +oo \(f]n = 1, la suite de terme géné( 4 1 )
1
ral � converge vers 2. La règle de Cauchy permet de conclure que la
série L n Un converge absolument.
Majoration du reste d'une série dont la convergence absolue a été établie par
la règle de D'Alembert
Soit L n Un une série numérique à termes tous non nuls, convergente. Supposons
que f, = limn---> +oo 1 u:: 1 1 < 1. Dans ce cas, pour tout r E]f., 1[, il existe N E N
tel que pour tout entier k �Non ait <42> 1
u k +i I ::::; r, i.e. lu k+i l ::::; r lu k l · On en
U k
déduit pour tout n EN avec n �Net pour tout k E N avec k � n la relation
lu k l ::::; r k - n lunl· On obtient ainsi pour tout n EN avec n � N, la majoration
<4 1 > Voir la proposition 5.19 p. 189 du Cours de première année : une condition nécessaire et
suffisante pour qu'une suite converge vers le réel e est que la suite extraite correspondant
aux termes d'indices pairs et la suite extraite correspondant au termes d'indices impairs
convergent toutes les deux vers e.
<42> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année ; on prend é = T - e.